Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5919 / 6942
↖ ↑ ↗
← N 26.470573°
W 49.943848°		 ← 2 187.08 m → N 26.470573°
W 49.921875°		 →
↑
2 187.29 m
↓
↑
2 187.29 m
↓
N 26.450902°
W 49.943848°		 ← 2 187.45 m →
4 784 183 m²		 N 26.450902°
W 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361297607421875 y=0.423736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361297607421875 × 214)
    floor (0.361297607421875 × 16384)
    floor (5919.5)     		tx = 5919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423736572265625 × 214)
    floor (0.423736572265625 × 16384)
    floor (6942.5)     		ty = 6942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5919 / 6942 ti = "14/5919/6942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5919/6942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5919 ÷ 214
    5919 ÷ 16384     		x = 0.36126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6942 ÷ 214
    6942 ÷ 16384     		y = 0.4237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.2774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87168458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4237060546875 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87168458} λ = -0.87168458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479368996200562))-π/2
    2×atan(1.61505497477005)-π/2
    2×1.01639749045633-π/2
    2.03279498091266-1.57079632675     		φ = 0.46199865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87168458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46199865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.470573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5919 KachelY 6942 -0.87168458 0.46199865 -49.943848 26.470573
    Oben rechts KachelX + 1 5920 KachelY 6942 -0.87130109 0.46199865 -49.921875 26.470573
    Unten links KachelX 5919 KachelY + 1 6943 -0.87168458 0.46165533 -49.943848 26.450902
    Unten rechts KachelX + 1 5920 KachelY + 1 6943 -0.87130109 0.46165533 -49.921875 26.450902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46199865-0.46165533) × R
    0.000343320000000036 × 6371000     		dl = 2187.29172000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46199865-0.46165533) × R
    0.000343320000000036 × 6371000     		dr = 2187.29172000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87168458--0.87130109) × cos(0.46199865) × R
    0.000383490000000042 × 0.895163411546397 × 6371000     		do = 2187.07648655725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87168458--0.87130109) × cos(0.46165533) × R
    0.000383490000000042 × 0.895316389596988 × 6371000     		du = 2187.450244793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46199865)-sin(0.46165533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895163411546397-0.895316389596988)×R²
    abs(-0.87130109--0.87168458)×0.000152978050590891×R²
    0.000383490000000042×0.000152978050590891×6371000²
    0.000383490000000042×0.000152978050590891×40589641000000     		ar = 4784183.09619307m²