Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59189 / 85430
↖ ↑ ↗
← S 47.853717°
W 17.432556°		 ← 204.95 m → S 47.853717°
W 17.429809°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.855560°
W 17.432556°		 ← 204.94 m →
42 004 m²		 S 47.855560°
W 17.429809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451580047607422 y=0.651782989501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451580047607422 × 217)
    floor (0.451580047607422 × 131072)
    floor (59189.5)     		tx = 59189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651782989501953 × 217)
    floor (0.651782989501953 × 131072)
    floor (85430.5)     		ty = 85430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59189 / 85430 ti = "17/59189/85430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59189/85430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59189 ÷ 217
    59189 ÷ 131072     		x = 0.451576232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85430 ÷ 217
    85430 ÷ 131072     		y = 0.651779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451576232910156 × 2 - 1) × π
    -0.0968475341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30425550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.303558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.953656681041397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30425550} λ = -0.30425550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953656681041397))-π/2
    2×atan(0.385329417355653)-π/2
    2×0.36779570317528-π/2
    0.735591406350559-1.57079632675     		φ = -0.83520492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30425550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.432556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83520492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.853717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59189 KachelY 85430 -0.30425550 -0.83520492 -17.432556 -47.853717
    Oben rechts KachelX + 1 59190 KachelY 85430 -0.30420756 -0.83520492 -17.429809 -47.853717
    Unten links KachelX 59189 KachelY + 1 85431 -0.30425550 -0.83523709 -17.432556 -47.855560
    Unten rechts KachelX + 1 59190 KachelY + 1 85431 -0.30420756 -0.83523709 -17.429809 -47.855560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83520492--0.83523709) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83520492--0.83523709) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30425550--0.30420756) × cos(-0.83520492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671025762087606 × 6371000     		do = 204.948539944774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30425550--0.30420756) × cos(-0.83523709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671001909807515 × 6371000     		du = 204.941254844476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83520492)-sin(-0.83523709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671025762087606-0.671001909807515)×R²
    abs(-0.30420756--0.30425550)×2.38522800914964e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38522800914964e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38522800914964e-05×40589641000000     		ar = 42004.4957953114m²