Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59188 / 38876
↖ ↑ ↗
← N 58.864905°
W 17.435303°		 ← 157.92 m → N 58.864905°
W 17.432556°		 →
↑
157.94 m
↓
↑
157.94 m
↓
N 58.863484°
W 17.435303°		 ← 157.93 m →
24 942 m²		 N 58.863484°
W 17.432556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451572418212891 y=0.296604156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451572418212891 × 217)
    floor (0.451572418212891 × 131072)
    floor (59188.5)     		tx = 59188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296604156494141 × 217)
    floor (0.296604156494141 × 131072)
    floor (38876.5)     		ty = 38876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59188 / 38876 ti = "17/59188/38876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59188/38876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59188 ÷ 217
    59188 ÷ 131072     		x = 0.451568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38876 ÷ 217
    38876 ÷ 131072     		y = 0.296600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.09686279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30430344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296600341796875 × 2 - 1) × π
    0.40679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2779977438707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30430344} λ = -0.30430344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2779977438707))-π/2
    2×atan(3.58944553634208)-π/2
    2×1.29909136277627-π/2
    2.59818272555253-1.57079632675     		φ = 1.02738640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30430344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.435303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02738640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.864905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59188 KachelY 38876 -0.30430344 1.02738640 -17.435303 58.864905
    Oben rechts KachelX + 1 59189 KachelY 38876 -0.30425550 1.02738640 -17.432556 58.864905
    Unten links KachelX 59188 KachelY + 1 38877 -0.30430344 1.02736161 -17.435303 58.863484
    Unten rechts KachelX + 1 59189 KachelY + 1 38877 -0.30425550 1.02736161 -17.432556 58.863484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02738640-1.02736161) × R
    2.47899999998857e-05 × 6371000     		dl = 157.937089999272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02738640-1.02736161) × R
    2.47899999998857e-05 × 6371000     		dr = 157.937089999272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30430344--0.30425550) × cos(1.02738640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51705772071887 × 6371000     		do = 157.922736973171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30430344--0.30425550) × cos(1.02736161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517078939573682 × 6371000     		du = 157.929217757604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02738640)-sin(1.02736161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51705772071887-0.517078939573682)×R²
    abs(-0.30425550--0.30430344)×2.12188548116554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12188548116554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12188548116554e-05×40589641000000     		ar = 24942.3693017428m²