Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59188 / 38868
↖ ↑ ↗
← N 58.876264°
W 17.435303°		 ← 157.87 m → N 58.876264°
W 17.432556°		 →
↑
157.87 m
↓
↑
157.87 m
↓
N 58.874844°
W 17.435303°		 ← 157.88 m →
24 924 m²		 N 58.874844°
W 17.432556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451572418212891 y=0.296543121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451572418212891 × 217)
    floor (0.451572418212891 × 131072)
    floor (59188.5)     		tx = 59188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296543121337891 × 217)
    floor (0.296543121337891 × 131072)
    floor (38868.5)     		ty = 38868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59188 / 38868 ti = "17/59188/38868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59188/38868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59188 ÷ 217
    59188 ÷ 131072     		x = 0.451568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38868 ÷ 217
    38868 ÷ 131072     		y = 0.296539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.09686279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30430344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296539306640625 × 2 - 1) × π
    0.40692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27838123906766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30430344} λ = -0.30430344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27838123906766))-π/2
    2×atan(3.59082233544607)-π/2
    2×1.29919049108158-π/2
    2.59838098216315-1.57079632675     		φ = 1.02758466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30430344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.435303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02758466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.876264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59188 KachelY 38868 -0.30430344 1.02758466 -17.435303 58.876264
    Oben rechts KachelX + 1 59189 KachelY 38868 -0.30425550 1.02758466 -17.432556 58.876264
    Unten links KachelX 59188 KachelY + 1 38869 -0.30430344 1.02755988 -17.435303 58.874844
    Unten rechts KachelX + 1 59189 KachelY + 1 38869 -0.30425550 1.02755988 -17.432556 58.874844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02758466-1.02755988) × R
    2.47799999999465e-05 × 6371000     		dl = 157.873379999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02758466-1.02755988) × R
    2.47799999999465e-05 × 6371000     		dr = 157.873379999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30430344--0.30425550) × cos(1.02758466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516888009805482 × 6371000     		do = 157.870902891863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30430344--0.30425550) × cos(1.02755988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516909222640796 × 6371000     		du = 157.877381837786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02758466)-sin(1.02755988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516888009805482-0.516909222640796)×R²
    abs(-0.30425550--0.30430344)×2.12128353137553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12128353137553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12128353137553e-05×40589641000000     		ar = 24924.1244710837m²