Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59187 / 45303
↖ ↑ ↗
← N 48.474742°
W 17.438050°		 ← 202.48 m → N 48.474742°
W 17.435303°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 48.472921°
W 17.438050°		 ← 202.49 m →
40 997 m²		 N 48.472921°
W 17.435303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451564788818359 y=0.345638275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451564788818359 × 217)
    floor (0.451564788818359 × 131072)
    floor (59187.5)     		tx = 59187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345638275146484 × 217)
    floor (0.345638275146484 × 131072)
    floor (45303.5)     		ty = 45303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59187 / 45303 ti = "17/59187/45303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59187/45303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59187 ÷ 217
    59187 ÷ 131072     		x = 0.451560974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45303 ÷ 217
    45303 ÷ 131072     		y = 0.345634460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451560974121094 × 2 - 1) × π
    -0.0968780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30435138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345634460449219 × 2 - 1) × π
    0.308731079101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.969907290012596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30435138} λ = -0.30435138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969907290012596))-π/2
    2×atan(2.63769990689296)-π/2
    2×1.2084200906932-π/2
    2.41684018138639-1.57079632675     		φ = 0.84604385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30435138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.438050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84604385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.474742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59187 KachelY 45303 -0.30435138 0.84604385 -17.438050 48.474742
    Oben rechts KachelX + 1 59188 KachelY 45303 -0.30430344 0.84604385 -17.435303 48.474742
    Unten links KachelX 59187 KachelY + 1 45304 -0.30435138 0.84601207 -17.438050 48.472921
    Unten rechts KachelX + 1 59188 KachelY + 1 45304 -0.30430344 0.84601207 -17.435303 48.472921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84604385-0.84601207) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84604385-0.84601207) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30435138--0.30430344) × cos(0.84604385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662950151374895 × 6371000     		do = 202.482040566891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30435138--0.30430344) × cos(0.84601207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662973943567427 × 6371000     		du = 202.489307314901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84604385)-sin(0.84601207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662950151374895-0.662973943567427)×R²
    abs(-0.30430344--0.30435138)×2.37921925320128e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37921925320128e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37921925320128e-05×40589641000000     		ar = 40997.3513508815m²