Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59185 / 45379
↖ ↑ ↗
← N 48.336169°
W 17.443543°		 ← 203.03 m → N 48.336169°
W 17.440796°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 48.334343°
W 17.443543°		 ← 203.04 m →
41 226 m²		 N 48.334343°
W 17.440796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451549530029297 y=0.346218109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451549530029297 × 217)
    floor (0.451549530029297 × 131072)
    floor (59185.5)     		tx = 59185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346218109130859 × 217)
    floor (0.346218109130859 × 131072)
    floor (45379.5)     		ty = 45379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59185 / 45379 ti = "17/59185/45379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59185/45379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59185 ÷ 217
    59185 ÷ 131072     		x = 0.451545715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45379 ÷ 217
    45379 ÷ 131072     		y = 0.346214294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451545715332031 × 2 - 1) × π
    -0.0969085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30444725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346214294433594 × 2 - 1) × π
    0.307571411132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.966264085641472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30444725} λ = -0.30444725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966264085641472))-π/2
    2×atan(2.62810771083747)-π/2
    2×1.20721081200647-π/2
    2.41442162401294-1.57079632675     		φ = 0.84362530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30444725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.443543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84362530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.336169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59185 KachelY 45379 -0.30444725 0.84362530 -17.443543 48.336169
    Oben rechts KachelX + 1 59186 KachelY 45379 -0.30439931 0.84362530 -17.440796 48.336169
    Unten links KachelX 59185 KachelY + 1 45380 -0.30444725 0.84359343 -17.443543 48.334343
    Unten rechts KachelX + 1 59186 KachelY + 1 45380 -0.30439931 0.84359343 -17.440796 48.334343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84362530-0.84359343) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84362530-0.84359343) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30444725--0.30439931) × cos(0.84362530) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664758890891319 × 6371000     		do = 203.034476172162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30444725--0.30439931) × cos(0.84359343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664782699291359 × 6371000     		du = 203.041747870363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84362530)-sin(0.84359343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664758890891319-0.664782699291359)×R²
    abs(-0.30439931--0.30444725)×2.38084000405703e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38084000405703e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38084000405703e-05×40589641000000     		ar = 41225.6237220368m²