Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59184 / 45380
↖ ↑ ↗
← N 48.334343°
W 17.446289°		 ← 203.04 m → N 48.334343°
W 17.443543°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
N 48.332517°
W 17.446289°		 ← 203.05 m →
41 227 m²		 N 48.332517°
W 17.443543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451541900634766 y=0.346225738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451541900634766 × 217)
    floor (0.451541900634766 × 131072)
    floor (59184.5)     		tx = 59184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346225738525391 × 217)
    floor (0.346225738525391 × 131072)
    floor (45380.5)     		ty = 45380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59184 / 45380 ti = "17/59184/45380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59184/45380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59184 ÷ 217
    59184 ÷ 131072     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45380 ÷ 217
    45380 ÷ 131072     		y = 0.346221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346221923828125 × 2 - 1) × π
    0.30755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.966216148741852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966216148741852))-π/2
    2×atan(2.62798173052152)-π/2
    2×1.20719487848101-π/2
    2.41438975696202-1.57079632675     		φ = 0.84359343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84359343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.334343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59184 KachelY 45380 -0.30449519 0.84359343 -17.446289 48.334343
    Oben rechts KachelX + 1 59185 KachelY 45380 -0.30444725 0.84359343 -17.443543 48.334343
    Unten links KachelX 59184 KachelY + 1 45381 -0.30449519 0.84356156 -17.446289 48.332517
    Unten rechts KachelX + 1 59185 KachelY + 1 45381 -0.30444725 0.84356156 -17.443543 48.332517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84359343-0.84356156) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84359343-0.84356156) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30444725) × cos(0.84359343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664782699291359 × 6371000     		do = 203.041747870363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30444725) × cos(0.84356156) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664806507016182 × 6371000     		du = 203.049019362334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84359343)-sin(0.84356156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664782699291359-0.664806507016182)×R²
    abs(-0.30444725--0.30449519)×2.38077248226887e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38077248226887e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38077248226887e-05×40589641000000     		ar = 41227.1001741008m²