Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59183 / 82728
↖ ↑ ↗
← S 42.633959°
W 17.449035°		 ← 224.65 m → S 42.633959°
W 17.446289°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
S 42.635979°
W 17.449035°		 ← 224.65 m →
50 480 m²		 S 42.635979°
W 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451534271240234 y=0.631168365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451534271240234 × 217)
    floor (0.451534271240234 × 131072)
    floor (59183.5)     		tx = 59183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631168365478516 × 217)
    floor (0.631168365478516 × 131072)
    floor (82728.5)     		ty = 82728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59183 / 82728 ti = "17/59183/82728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59183/82728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59183 ÷ 217
    59183 ÷ 131072     		x = 0.451530456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82728 ÷ 217
    82728 ÷ 131072     		y = 0.63116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451530456542969 × 2 - 1) × π
    -0.0969390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30454312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.2623291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.824131178268005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30454312} λ = -0.30454312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824131178268005))-π/2
    2×atan(0.43861590599914)-π/2
    2×0.413346686971112-π/2
    0.826693373942224-1.57079632675     		φ = -0.74410295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30454312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.449035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74410295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.633959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59183 KachelY 82728 -0.30454312 -0.74410295 -17.449035 -42.633959
    Oben rechts KachelX + 1 59184 KachelY 82728 -0.30449519 -0.74410295 -17.446289 -42.633959
    Unten links KachelX 59183 KachelY + 1 82729 -0.30454312 -0.74413822 -17.449035 -42.635979
    Unten rechts KachelX + 1 59184 KachelY + 1 82729 -0.30449519 -0.74413822 -17.446289 -42.635979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74410295--0.74413822) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74410295--0.74413822) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30454312--0.30449519) × cos(-0.74410295) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735695781150223 × 6371000     		do = 224.653557194345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30454312--0.30449519) × cos(-0.74413822) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.735671891893911 × 6371000     		du = 224.646262322542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74410295)-sin(-0.74413822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735695781150223-0.735671891893911)×R²
    abs(-0.30449519--0.30454312)×2.38892563126925e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38892563126925e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38892563126925e-05×40589641000000     		ar = 50479.9961677836m²