Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59180 / 45092
↖ ↑ ↗
← N 48.857487°
W 17.457275°		 ← 200.91 m → N 48.857487°
W 17.454529°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.855680°
W 17.457275°		 ← 200.92 m →
40 371 m²		 N 48.855680°
W 17.454529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451511383056641 y=0.344028472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451511383056641 × 217)
    floor (0.451511383056641 × 131072)
    floor (59180.5)     		tx = 59180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344028472900391 × 217)
    floor (0.344028472900391 × 131072)
    floor (45092.5)     		ty = 45092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59180 / 45092 ti = "17/59180/45092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59180/45092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59180 ÷ 217
    59180 ÷ 131072     		x = 0.451507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45092 ÷ 217
    45092 ÷ 131072     		y = 0.344024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.09698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30468693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344024658203125 × 2 - 1) × π
    0.31195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.980021975832428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30468693} λ = -0.30468693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980021975832428))-π/2
    2×atan(2.66451479621669)-π/2
    2×1.21176016961148-π/2
    2.42352033922297-1.57079632675     		φ = 0.85272401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30468693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.457275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85272401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.857487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59180 KachelY 45092 -0.30468693 0.85272401 -17.457275 48.857487
    Oben rechts KachelX + 1 59181 KachelY 45092 -0.30463900 0.85272401 -17.454529 48.857487
    Unten links KachelX 59180 KachelY + 1 45093 -0.30468693 0.85269247 -17.457275 48.855680
    Unten rechts KachelX + 1 59181 KachelY + 1 45093 -0.30463900 0.85269247 -17.454529 48.855680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85272401-0.85269247) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85272401-0.85269247) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(0.85272401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657934204467473 × 6371000     		do = 200.908124282745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(0.85269247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657957956138851 × 6371000     		du = 200.915377141333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85272401)-sin(0.85269247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657934204467473-0.657957956138851)×R²
    abs(-0.30463900--0.30468693)×2.3751671378025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3751671378025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3751671378025e-05×40589641000000     		ar = 40371.4764130613m²