Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59180 / 45084
↖ ↑ ↗
← N 48.871941°
W 17.457275°		 ← 200.85 m → N 48.871941°
W 17.454529°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 48.870135°
W 17.457275°		 ← 200.86 m →
40 347 m²		 N 48.870135°
W 17.454529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451511383056641 y=0.343967437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451511383056641 × 217)
    floor (0.451511383056641 × 131072)
    floor (59180.5)     		tx = 59180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343967437744141 × 217)
    floor (0.343967437744141 × 131072)
    floor (45084.5)     		ty = 45084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59180 / 45084 ti = "17/59180/45084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59180/45084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59180 ÷ 217
    59180 ÷ 131072     		x = 0.451507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45084 ÷ 217
    45084 ÷ 131072     		y = 0.343963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.09698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30468693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343963623046875 × 2 - 1) × π
    0.31207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.980405471029388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30468693} λ = -0.30468693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980405471029388))-π/2
    2×atan(2.6655368208015)-π/2
    2×1.21188630869805-π/2
    2.42377261739609-1.57079632675     		φ = 0.85297629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30468693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.457275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85297629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.871941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59180 KachelY 45084 -0.30468693 0.85297629 -17.457275 48.871941
    Oben rechts KachelX + 1 59181 KachelY 45084 -0.30463900 0.85297629 -17.454529 48.871941
    Unten links KachelX 59180 KachelY + 1 45085 -0.30468693 0.85294476 -17.457275 48.870135
    Unten rechts KachelX + 1 59181 KachelY + 1 45085 -0.30463900 0.85294476 -17.454529 48.870135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85297629-0.85294476) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85297629-0.85294476) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(0.85297629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657744197666295 × 6371000     		do = 200.850103420224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(0.85294476) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657767947039929 × 6371000     		du = 200.857355577168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85297629)-sin(0.85294476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657744197666295-0.657767947039929)×R²
    abs(-0.30463900--0.30468693)×2.3749373634474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3749373634474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3749373634474e-05×40589641000000     		ar = 40347.0211615556m²