Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59180 / 39668
↖ ↑ ↗
← N 57.721752°
W 17.457275°		 ← 163.07 m → N 57.721752°
W 17.454529°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 57.720286°
W 17.457275°		 ← 163.08 m →
26 597 m²		 N 57.720286°
W 17.454529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451511383056641 y=0.302646636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451511383056641 × 217)
    floor (0.451511383056641 × 131072)
    floor (59180.5)     		tx = 59180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302646636962891 × 217)
    floor (0.302646636962891 × 131072)
    floor (39668.5)     		ty = 39668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59180 / 39668 ti = "17/59180/39668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59180/39668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59180 ÷ 217
    59180 ÷ 131072     		x = 0.451507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39668 ÷ 217
    39668 ÷ 131072     		y = 0.302642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451507568359375 × 2 - 1) × π
    -0.09698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30468693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302642822265625 × 2 - 1) × π
    0.39471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24003171937161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30468693} λ = -0.30468693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24003171937161))-π/2
    2×atan(3.45572307638871)-π/2
    2×1.28911548024874-π/2
    2.57823096049748-1.57079632675     		φ = 1.00743463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30468693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.457275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00743463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.721752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59180 KachelY 39668 -0.30468693 1.00743463 -17.457275 57.721752
    Oben rechts KachelX + 1 59181 KachelY 39668 -0.30463900 1.00743463 -17.454529 57.721752
    Unten links KachelX 59180 KachelY + 1 39669 -0.30468693 1.00740903 -17.457275 57.720286
    Unten rechts KachelX + 1 59181 KachelY + 1 39669 -0.30463900 1.00740903 -17.454529 57.720286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00743463-1.00740903) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dl = 163.097600000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00743463-1.00740903) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dr = 163.097600000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(1.00743463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.534031405881222 × 6371000     		do = 163.072914183744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30468693--0.30463900) × cos(1.00740903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.534053049601013 × 6371000     		du = 163.079523353956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00743463)-sin(1.00740903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534031405881222-0.534053049601013)×R²
    abs(-0.30463900--0.30468693)×2.16437197908537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16437197908537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16437197908537e-05×40589641000000     		ar = 26597.3398997482m²