Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59178 / 45270
↖ ↑ ↗
← N 48.534795°
W 17.462769°		 ← 202.24 m → N 48.534795°
W 17.460022°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.532976°
W 17.462769°		 ← 202.25 m →
40 910 m²		 N 48.532976°
W 17.460022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451496124267578 y=0.345386505126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451496124267578 × 217)
    floor (0.451496124267578 × 131072)
    floor (59178.5)     		tx = 59178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345386505126953 × 217)
    floor (0.345386505126953 × 131072)
    floor (45270.5)     		ty = 45270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59178 / 45270 ti = "17/59178/45270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59178/45270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59178 ÷ 217
    59178 ÷ 131072     		x = 0.451492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45270 ÷ 217
    45270 ÷ 131072     		y = 0.345382690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451492309570312 × 2 - 1) × π
    -0.097015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30478281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345382690429688 × 2 - 1) × π
    0.309234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.971489207700058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30478281} λ = -0.30478281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971489207700058))-π/2
    2×atan(2.64187583314484)-π/2
    2×1.20894414649241-π/2
    2.41788829298483-1.57079632675     		φ = 0.84709197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30478281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.462769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84709197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.534795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59178 KachelY 45270 -0.30478281 0.84709197 -17.462769 48.534795
    Oben rechts KachelX + 1 59179 KachelY 45270 -0.30473487 0.84709197 -17.460022 48.534795
    Unten links KachelX 59178 KachelY + 1 45271 -0.30478281 0.84706022 -17.462769 48.532976
    Unten rechts KachelX + 1 59179 KachelY + 1 45271 -0.30473487 0.84706022 -17.460022 48.532976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84709197-0.84706022) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84709197-0.84706022) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(0.84709197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		do = 202.242265103152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(0.84706022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66218888992693 × 6371000     		du = 202.249531725813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84709197)-sin(0.84706022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662165098144808-0.66218888992693)×R²
    abs(-0.30473487--0.30478281)×2.37917821219735e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37917821219735e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37917821219735e-05×40589641000000     		ar = 40910.1486502772m²