Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59178 / 38778
↖ ↑ ↗
← N 59.003799°
W 17.462769°		 ← 157.29 m → N 59.003799°
W 17.460022°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 59.002384°
W 17.462769°		 ← 157.29 m →
24 742 m²		 N 59.002384°
W 17.460022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451496124267578 y=0.295856475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451496124267578 × 217)
    floor (0.451496124267578 × 131072)
    floor (59178.5)     		tx = 59178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295856475830078 × 217)
    floor (0.295856475830078 × 131072)
    floor (38778.5)     		ty = 38778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59178 / 38778 ti = "17/59178/38778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59178/38778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59178 ÷ 217
    59178 ÷ 131072     		x = 0.451492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38778 ÷ 217
    38778 ÷ 131072     		y = 0.295852661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451492309570312 × 2 - 1) × π
    -0.097015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30478281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295852661132812 × 2 - 1) × π
    0.408294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28269556003346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30478281} λ = -0.30478281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28269556003346))-π/2
    2×atan(3.60634776228793)-π/2
    2×1.3003034440646-π/2
    2.6006068881292-1.57079632675     		φ = 1.02981056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30478281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.462769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02981056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.003799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59178 KachelY 38778 -0.30478281 1.02981056 -17.462769 59.003799
    Oben rechts KachelX + 1 59179 KachelY 38778 -0.30473487 1.02981056 -17.460022 59.003799
    Unten links KachelX 59178 KachelY + 1 38779 -0.30478281 1.02978587 -17.462769 59.002384
    Unten rechts KachelX + 1 59179 KachelY + 1 38779 -0.30473487 1.02978587 -17.460022 59.002384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02981056-1.02978587) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dl = 157.299990000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02981056-1.02978587) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dr = 157.299990000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(1.02981056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514981242451712 × 6371000     		do = 157.288527062012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(1.02978587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515002406598459 × 6371000     		du = 157.294991137194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02981056)-sin(1.02978587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514981242451712-0.515002406598459)×R²
    abs(-0.30473487--0.30478281)×2.11641467472434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11641467472434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11641467472434e-05×40589641000000     		ar = 24741.9921346808m²