Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59178 / 35368
↖ ↑ ↗
← N 63.499573°
W 17.462769°		 ← 136.28 m → N 63.499573°
W 17.460022°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 63.498347°
W 17.462769°		 ← 136.29 m →
18 572 m²		 N 63.498347°
W 17.460022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451496124267578 y=0.269840240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451496124267578 × 217)
    floor (0.451496124267578 × 131072)
    floor (59178.5)     		tx = 59178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269840240478516 × 217)
    floor (0.269840240478516 × 131072)
    floor (35368.5)     		ty = 35368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59178 / 35368 ti = "17/59178/35368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59178/35368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59178 ÷ 217
    59178 ÷ 131072     		x = 0.451492309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35368 ÷ 217
    35368 ÷ 131072     		y = 0.26983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451492309570312 × 2 - 1) × π
    -0.097015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30478281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26983642578125 × 2 - 1) × π
    0.4603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44616038773785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30478281} λ = -0.30478281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44616038773785))-π/2
    2×atan(4.24677719296402)-π/2
    2×1.33953647274808-π/2
    2.67907294549616-1.57079632675     		φ = 1.10827662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30478281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.462769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10827662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.499573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59178 KachelY 35368 -0.30478281 1.10827662 -17.462769 63.499573
    Oben rechts KachelX + 1 59179 KachelY 35368 -0.30473487 1.10827662 -17.460022 63.499573
    Unten links KachelX 59178 KachelY + 1 35369 -0.30478281 1.10825523 -17.462769 63.498347
    Unten rechts KachelX + 1 59179 KachelY + 1 35369 -0.30473487 1.10825523 -17.460022 63.498347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10827662-1.10825523) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10827662-1.10825523) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(1.10827662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446204484847751 × 6371000     		do = 136.282334976012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30478281--0.30473487) × cos(1.10825523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446223627320516 × 6371000     		du = 136.288181579921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10827662)-sin(1.10825523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446204484847751-0.446223627320516)×R²
    abs(-0.30473487--0.30478281)×1.91424727644107e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91424727644107e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91424727644107e-05×40589641000000     		ar = 18572.3676095293m²