Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59176 / 45304
↖ ↑ ↗
← N 48.472921°
W 17.468262°		 ← 202.49 m → N 48.472921°
W 17.465515°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
N 48.471100°
W 17.468262°		 ← 202.50 m →
40 999 m²		 N 48.471100°
W 17.465515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451480865478516 y=0.345645904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451480865478516 × 217)
    floor (0.451480865478516 × 131072)
    floor (59176.5)     		tx = 59176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345645904541016 × 217)
    floor (0.345645904541016 × 131072)
    floor (45304.5)     		ty = 45304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59176 / 45304 ti = "17/59176/45304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59176/45304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59176 ÷ 217
    59176 ÷ 131072     		x = 0.45147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45304 ÷ 217
    45304 ÷ 131072     		y = 0.34564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.969859353112976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30487868} λ = -0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969859353112976))-π/2
    2×atan(2.63757346676789)-π/2
    2×1.20840420052072-π/2
    2.41680840104143-1.57079632675     		φ = 0.84601207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84601207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.472921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59176 KachelY 45304 -0.30487868 0.84601207 -17.468262 48.472921
    Oben rechts KachelX + 1 59177 KachelY 45304 -0.30483074 0.84601207 -17.465515 48.472921
    Unten links KachelX 59176 KachelY + 1 45305 -0.30487868 0.84598029 -17.468262 48.471100
    Unten rechts KachelX + 1 59177 KachelY + 1 45305 -0.30483074 0.84598029 -17.465515 48.471100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84601207-0.84598029) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84601207-0.84598029) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30487868--0.30483074) × cos(0.84601207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662973943567427 × 6371000     		do = 202.489307314901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30487868--0.30483074) × cos(0.84598029) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662997735090376 × 6371000     		du = 202.496573858404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84601207)-sin(0.84598029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662973943567427-0.662997735090376)×R²
    abs(-0.30483074--0.30487868)×2.37915229492902e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37915229492902e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37915229492902e-05×40589641000000     		ar = 40998.8226315073m²