Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59174 / 82727
↖ ↑ ↗
← S 42.631938°
W 17.473755°		 ← 224.71 m → S 42.631938°
W 17.471008°		 →
↑
224.64 m
↓
↑
224.64 m
↓
S 42.633959°
W 17.473755°		 ← 224.70 m →
50 478 m²		 S 42.633959°
W 17.471008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451465606689453 y=0.631160736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451465606689453 × 217)
    floor (0.451465606689453 × 131072)
    floor (59174.5)     		tx = 59174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631160736083984 × 217)
    floor (0.631160736083984 × 131072)
    floor (82727.5)     		ty = 82727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59174 / 82727 ti = "17/59174/82727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59174/82727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59174 ÷ 217
    59174 ÷ 131072     		x = 0.451461791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82727 ÷ 217
    82727 ÷ 131072     		y = 0.631156921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451461791992188 × 2 - 1) × π
    -0.097076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30497456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631156921386719 × 2 - 1) × π
    -0.262313842773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.824083241368385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30497456} λ = -0.30497456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824083241368385))-π/2
    2×atan(0.438636932389764)-π/2
    2×0.413364320744735-π/2
    0.82672864148947-1.57079632675     		φ = -0.74406769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30497456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.473755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74406769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.631938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59174 KachelY 82727 -0.30497456 -0.74406769 -17.473755 -42.631938
    Oben rechts KachelX + 1 59175 KachelY 82727 -0.30492662 -0.74406769 -17.471008 -42.631938
    Unten links KachelX 59174 KachelY + 1 82728 -0.30497456 -0.74410295 -17.473755 -42.633959
    Unten rechts KachelX + 1 59175 KachelY + 1 82728 -0.30492662 -0.74410295 -17.471008 -42.633959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74406769--0.74410295) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dl = 224.641460000589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74406769--0.74410295) × R
    3.52600000000924e-05 × 6371000     		dr = 224.641460000589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30497456--0.30492662) × cos(-0.74406769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.735719662718489 × 6371000     		do = 224.707722418458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30497456--0.30492662) × cos(-0.74410295) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.735695781150223 × 6371000     		du = 224.700428372798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74406769)-sin(-0.74410295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735719662718489-0.735695781150223)×R²
    abs(-0.30492662--0.30497456)×2.38815682653826e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38815682653826e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38815682653826e-05×40589641000000     		ar = 50477.8515703053m²