Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59173 / 39673
↖ ↑ ↗
← N 57.714418°
W 17.476501°		 ← 163.11 m → N 57.714418°
W 17.473755°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 57.712951°
W 17.476501°		 ← 163.11 m →
26 603 m²		 N 57.712951°
W 17.473755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451457977294922 y=0.302684783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451457977294922 × 217)
    floor (0.451457977294922 × 131072)
    floor (59173.5)     		tx = 59173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302684783935547 × 217)
    floor (0.302684783935547 × 131072)
    floor (39673.5)     		ty = 39673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59173 / 39673 ti = "17/59173/39673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59173/39673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59173 ÷ 217
    59173 ÷ 131072     		x = 0.451454162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39673 ÷ 217
    39673 ÷ 131072     		y = 0.302680969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451454162597656 × 2 - 1) × π
    -0.0970916748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30502249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302680969238281 × 2 - 1) × π
    0.394638061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.23979203487351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30502249} λ = -0.30502249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23979203487351))-π/2
    2×atan(3.45489489239297)-π/2
    2×1.28905147423952-π/2
    2.57810294847904-1.57079632675     		φ = 1.00730662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30502249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.476501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00730662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.714418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59173 KachelY 39673 -0.30502249 1.00730662 -17.476501 57.714418
    Oben rechts KachelX + 1 59174 KachelY 39673 -0.30497456 1.00730662 -17.473755 57.714418
    Unten links KachelX 59173 KachelY + 1 39674 -0.30502249 1.00728102 -17.476501 57.712951
    Unten rechts KachelX + 1 59174 KachelY + 1 39674 -0.30497456 1.00728102 -17.473755 57.712951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00730662-1.00728102) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dl = 163.097600000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00730662-1.00728102) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dr = 163.097600000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30502249--0.30497456) × cos(1.00730662) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.534139629434027 × 6371000     		do = 163.105961547333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30502249--0.30497456) × cos(1.00728102) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.534161271403554 × 6371000     		du = 163.112570183081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00730662)-sin(1.00728102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534139629434027-0.534161271403554)×R²
    abs(-0.30497456--0.30502249)×2.1641969527364e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1641969527364e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1641969527364e-05×40589641000000     		ar = 26602.7298019644m²