Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59170 / 38822
↖ ↑ ↗
← N 58.941507°
W 17.484741°		 ← 157.54 m → N 58.941507°
W 17.481995°		 →
↑
157.55 m
↓
↑
157.55 m
↓
N 58.940090°
W 17.484741°		 ← 157.55 m →
24 822 m²		 N 58.940090°
W 17.481995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451435089111328 y=0.296192169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451435089111328 × 217)
    floor (0.451435089111328 × 131072)
    floor (59170.5)     		tx = 59170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296192169189453 × 217)
    floor (0.296192169189453 × 131072)
    floor (38822.5)     		ty = 38822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59170 / 38822 ti = "17/59170/38822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59170/38822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59170 ÷ 217
    59170 ÷ 131072     		x = 0.451431274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38822 ÷ 217
    38822 ÷ 131072     		y = 0.296188354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451431274414062 × 2 - 1) × π
    -0.097137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30516630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296188354492188 × 2 - 1) × π
    0.407623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28058633645018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30516630} λ = -0.30516630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28058633645018))-π/2
    2×atan(3.59874918490456)-π/2
    2×1.29975984761085-π/2
    2.59951969522171-1.57079632675     		φ = 1.02872337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30516630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.484741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02872337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.941507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59170 KachelY 38822 -0.30516630 1.02872337 -17.484741 58.941507
    Oben rechts KachelX + 1 59171 KachelY 38822 -0.30511837 1.02872337 -17.481995 58.941507
    Unten links KachelX 59170 KachelY + 1 38823 -0.30516630 1.02869864 -17.484741 58.940090
    Unten rechts KachelX + 1 59171 KachelY + 1 38823 -0.30511837 1.02869864 -17.481995 58.940090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02872337-1.02869864) × R
    2.47300000000283e-05 × 6371000     		dl = 157.554830000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02872337-1.02869864) × R
    2.47300000000283e-05 × 6371000     		dr = 157.554830000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30516630--0.30511837) × cos(1.02872337) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.515912878759494 × 6371000     		do = 157.540203961057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30516630--0.30511837) × cos(1.02869864) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.515934063335087 × 6371000     		du = 157.546672926065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02872337)-sin(1.02869864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515912878759494-0.515934063335087)×R²
    abs(-0.30511837--0.30516630)×2.11845755925255e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11845755925255e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11845755925255e-05×40589641000000     		ar = 24821.7296628964m²