Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59169 / 82656
↖ ↑ ↗
← S 42.488302°
W 17.487488°		 ← 225.23 m → S 42.488302°
W 17.484741°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 42.490327°
W 17.487488°		 ← 225.22 m →
50 723 m²		 S 42.490327°
W 17.484741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451427459716797 y=0.630619049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451427459716797 × 217)
    floor (0.451427459716797 × 131072)
    floor (59169.5)     		tx = 59169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630619049072266 × 217)
    floor (0.630619049072266 × 131072)
    floor (82656.5)     		ty = 82656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59169 / 82656 ti = "17/59169/82656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59169/82656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59169 ÷ 217
    59169 ÷ 131072     		x = 0.451423645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82656 ÷ 217
    82656 ÷ 131072     		y = 0.630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451423645019531 × 2 - 1) × π
    -0.0971527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30521424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30521424} λ = -0.30521424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820679721495361))-π/2
    2×atan(0.440132385364551)-π/2
    2×0.414617781843255-π/2
    0.82923556368651-1.57079632675     		φ = -0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30521424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.487488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59169 KachelY 82656 -0.30521424 -0.74156076 -17.487488 -42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 59170 KachelY 82656 -0.30516630 -0.74156076 -17.484741 -42.488302
    Unten links KachelX 59169 KachelY + 1 82657 -0.30521424 -0.74159611 -17.487488 -42.490327
    Unten rechts KachelX + 1 59170 KachelY + 1 82657 -0.30516630 -0.74159611 -17.484741 -42.490327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74156076--0.74159611) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74156076--0.74159611) × R
    3.53499999999896e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30521424--0.30516630) × cos(-0.74156076) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 225.225600896202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30521424--0.30516630) × cos(-0.74159611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737391380859009 × 6371000     		du = 225.218308168598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74156076)-sin(-0.74159611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.737391380859009)×R²
    abs(-0.30516630--0.30521424)×2.3877252794624e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3877252794624e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3877252794624e-05×40589641000000     		ar = 50723.3287120494m²