Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59169 / 38815
↖ ↑ ↗
← N 58.951425°
W 17.487488°		 ← 157.53 m → N 58.951425°
W 17.484741°		 →
↑
157.49 m
↓
↑
157.49 m
↓
N 58.950008°
W 17.487488°		 ← 157.53 m →
24 810 m²		 N 58.950008°
W 17.484741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451427459716797 y=0.296138763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451427459716797 × 217)
    floor (0.451427459716797 × 131072)
    floor (59169.5)     		tx = 59169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296138763427734 × 217)
    floor (0.296138763427734 × 131072)
    floor (38815.5)     		ty = 38815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59169 / 38815 ti = "17/59169/38815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59169/38815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59169 ÷ 217
    59169 ÷ 131072     		x = 0.451423645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38815 ÷ 217
    38815 ÷ 131072     		y = 0.296134948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451423645019531 × 2 - 1) × π
    -0.0971527099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30521424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296134948730469 × 2 - 1) × π
    0.407730102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28092189474752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30521424} λ = -0.30521424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28092189474752))-π/2
    2×atan(3.59995697768472)-π/2
    2×1.29984639459454-π/2
    2.59969278918908-1.57079632675     		φ = 1.02889646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30521424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.487488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02889646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.951425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59169 KachelY 38815 -0.30521424 1.02889646 -17.487488 58.951425
    Oben rechts KachelX + 1 59170 KachelY 38815 -0.30516630 1.02889646 -17.484741 58.951425
    Unten links KachelX 59169 KachelY + 1 38816 -0.30521424 1.02887174 -17.487488 58.950008
    Unten rechts KachelX + 1 59170 KachelY + 1 38816 -0.30516630 1.02887174 -17.484741 58.950008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02889646-1.02887174) × R
    2.47199999998671e-05 × 6371000     		dl = 157.491119999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02889646-1.02887174) × R
    2.47199999998671e-05 × 6371000     		dr = 157.491119999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30521424--0.30516630) × cos(1.02889646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515764595031165 × 6371000     		do = 157.527783103273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30521424--0.30516630) × cos(1.02887174) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515785773247683 × 6371000     		du = 157.534251475725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02889646)-sin(1.02887174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515764595031165-0.515785773247683)×R²
    abs(-0.30516630--0.30521424)×2.11782165177032e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11782165177032e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11782165177032e-05×40589641000000     		ar = 24809.73634881m²