Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59168 / 38817
↖ ↑ ↗
← N 58.948591°
W 17.490235°		 ← 157.54 m → N 58.948591°
W 17.487488°		 →
↑
157.49 m
↓
↑
157.49 m
↓
N 58.947175°
W 17.490235°		 ← 157.55 m →
24 812 m²		 N 58.947175°
W 17.487488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451419830322266 y=0.296154022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451419830322266 × 217)
    floor (0.451419830322266 × 131072)
    floor (59168.5)     		tx = 59168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296154022216797 × 217)
    floor (0.296154022216797 × 131072)
    floor (38817.5)     		ty = 38817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59168 / 38817 ti = "17/59168/38817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59168/38817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59168 ÷ 217
    59168 ÷ 131072     		x = 0.451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38817 ÷ 217
    38817 ÷ 131072     		y = 0.296150207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296150207519531 × 2 - 1) × π
    0.407699584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.28082602094828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30526218} λ = -0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28082602094828))-π/2
    2×atan(3.59961185267665)-π/2
    2×1.29982166942361-π/2
    2.59964333884721-1.57079632675     		φ = 1.02884701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02884701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.948591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59168 KachelY 38817 -0.30526218 1.02884701 -17.490235 58.948591
    Oben rechts KachelX + 1 59169 KachelY 38817 -0.30521424 1.02884701 -17.487488 58.948591
    Unten links KachelX 59168 KachelY + 1 38818 -0.30526218 1.02882229 -17.490235 58.947175
    Unten rechts KachelX + 1 59169 KachelY + 1 38818 -0.30521424 1.02882229 -17.487488 58.947175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02884701-1.02882229) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dl = 157.491120000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02884701-1.02882229) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dr = 157.491120000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30526218--0.30521424) × cos(1.02884701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.515806959716064 × 6371000     		do = 157.540722368326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30526218--0.30521424) × cos(1.02882229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51582813730207 × 6371000     		du = 157.547190548203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02884701)-sin(1.02882229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515806959716064-0.51582813730207)×R²
    abs(-0.30521424--0.30526218)×2.11775860062824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11775860062824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11775860062824e-05×40589641000000     		ar = 24811.7741531295m²