Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59167 / 38812
↖ ↑ ↗
← N 58.955674°
W 17.492981°		 ← 157.48 m → N 58.955674°
W 17.490235°		 →
↑
157.49 m
↓
↑
157.49 m
↓
N 58.954258°
W 17.492981°		 ← 157.48 m →
24 802 m²		 N 58.954258°
W 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451412200927734 y=0.296115875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451412200927734 × 217)
    floor (0.451412200927734 × 131072)
    floor (59167.5)     		tx = 59167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296115875244141 × 217)
    floor (0.296115875244141 × 131072)
    floor (38812.5)     		ty = 38812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59167 / 38812 ti = "17/59167/38812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59167/38812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59167 ÷ 217
    59167 ÷ 131072     		x = 0.451408386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38812 ÷ 217
    38812 ÷ 131072     		y = 0.296112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451408386230469 × 2 - 1) × π
    -0.0971832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30531011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296112060546875 × 2 - 1) × π
    0.40777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28106570544638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30531011} λ = -0.30531011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28106570544638))-π/2
    2×atan(3.60047472724161)-π/2
    2×1.29988347854324-π/2
    2.59976695708648-1.57079632675     		φ = 1.02897063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30531011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.492981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02897063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.955674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59167 KachelY 38812 -0.30531011 1.02897063 -17.492981 58.955674
    Oben rechts KachelX + 1 59168 KachelY 38812 -0.30526218 1.02897063 -17.490235 58.955674
    Unten links KachelX 59167 KachelY + 1 38813 -0.30531011 1.02894591 -17.492981 58.954258
    Unten rechts KachelX + 1 59168 KachelY + 1 38813 -0.30526218 1.02894591 -17.490235 58.954258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02897063-1.02894591) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dl = 157.491120000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02897063-1.02894591) × R
    2.47200000000891e-05 × 6371000     		dr = 157.491120000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30531011--0.30526218) × cos(1.02897063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.515701049922942 × 6371000     		do = 157.475519477697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30531011--0.30526218) × cos(1.02894591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.515722229085066 × 6371000     		du = 157.481986789637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02897063)-sin(1.02894591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515701049922942-0.515722229085066)×R²
    abs(-0.30526218--0.30531011)×2.11791621242963e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11791621242963e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11791621242963e-05×40589641000000     		ar = 24801.5052084251m²