Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59166 / 38625
↖ ↑ ↗
← N 59.219528°
W 17.495728°		 ← 156.30 m → N 59.219528°
W 17.492981°		 →
↑
156.28 m
↓
↑
156.28 m
↓
N 59.218123°
W 17.495728°		 ← 156.31 m →
24 427 m²		 N 59.218123°
W 17.492981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451404571533203 y=0.294689178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451404571533203 × 217)
    floor (0.451404571533203 × 131072)
    floor (59166.5)     		tx = 59166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294689178466797 × 217)
    floor (0.294689178466797 × 131072)
    floor (38625.5)     		ty = 38625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59166 / 38625 ti = "17/59166/38625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59166/38625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59166 ÷ 217
    59166 ÷ 131072     		x = 0.451400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38625 ÷ 217
    38625 ÷ 131072     		y = 0.294685363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451400756835938 × 2 - 1) × π
    -0.097198486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30535805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294685363769531 × 2 - 1) × π
    0.410629272460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29002990567533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30535805} λ = -0.30535805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29002990567533))-π/2
    2×atan(3.6328951983126)-π/2
    2×1.3021860406524-π/2
    2.6043720813048-1.57079632675     		φ = 1.03357575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30535805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.495728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03357575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.219528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59166 KachelY 38625 -0.30535805 1.03357575 -17.495728 59.219528
    Oben rechts KachelX + 1 59167 KachelY 38625 -0.30531011 1.03357575 -17.492981 59.219528
    Unten links KachelX 59166 KachelY + 1 38626 -0.30535805 1.03355122 -17.495728 59.218123
    Unten rechts KachelX + 1 59167 KachelY + 1 38626 -0.30531011 1.03355122 -17.492981 59.218123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03357575-1.03355122) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dl = 156.280629999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03357575-1.03355122) × R
    2.45299999999116e-05 × 6371000     		dr = 156.280629999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30535805--0.30531011) × cos(1.03357575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51175007341161 × 6371000     		do = 156.301644866693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30535805--0.30531011) × cos(1.03355122) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511771147823691 × 6371000     		du = 156.308081534598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03357575)-sin(1.03355122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51175007341161-0.511771147823691)×R²
    abs(-0.30531011--0.30535805)×2.10744120806572e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10744120806572e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10744120806572e-05×40589641000000     		ar = 24427.4224940407m²