Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59164 / 39635
↖ ↑ ↗
← N 57.770123°
W 17.501220°		 ← 162.85 m → N 57.770123°
W 17.498474°		 →
↑
162.84 m
↓
↑
162.84 m
↓
N 57.768659°
W 17.501220°		 ← 162.86 m →
26 520 m²		 N 57.768659°
W 17.498474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451389312744141 y=0.302394866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451389312744141 × 217)
    floor (0.451389312744141 × 131072)
    floor (59164.5)     		tx = 59164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302394866943359 × 217)
    floor (0.302394866943359 × 131072)
    floor (39635.5)     		ty = 39635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59164 / 39635 ti = "17/59164/39635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59164/39635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59164 ÷ 217
    59164 ÷ 131072     		x = 0.451385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39635 ÷ 217
    39635 ÷ 131072     		y = 0.302391052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30545392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302391052246094 × 2 - 1) × π
    0.395217895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24161363705907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30545392} λ = -0.30545392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24161363705907))-π/2
    2×atan(3.4611940720377)-π/2
    2×1.28953759471681-π/2
    2.57907518943361-1.57079632675     		φ = 1.00827886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30545392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.501220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00827886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.770123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59164 KachelY 39635 -0.30545392 1.00827886 -17.501220 57.770123
    Oben rechts KachelX + 1 59165 KachelY 39635 -0.30540599 1.00827886 -17.498474 57.770123
    Unten links KachelX 59164 KachelY + 1 39636 -0.30545392 1.00825330 -17.501220 57.768659
    Unten rechts KachelX + 1 59165 KachelY + 1 39636 -0.30540599 1.00825330 -17.498474 57.768659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00827886-1.00825330) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dl = 162.84276000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00827886-1.00825330) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dr = 162.84276000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30545392--0.30540599) × cos(1.00827886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.533317449044393 × 6371000     		do = 162.854898874528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30545392--0.30540599) × cos(1.00825330) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.533339070462282 × 6371000     		du = 162.861501234587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00827886)-sin(1.00825330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533317449044393-0.533339070462282)×R²
    abs(-0.30540599--0.30545392)×2.16214178893059e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16214178893059e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16214178893059e-05×40589641000000     		ar = 26520.2787868808m²