Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59163 / 85428
↖ ↑ ↗
← S 47.850031°
W 17.503967°		 ← 204.96 m → S 47.850031°
W 17.501220°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.851874°
W 17.503967°		 ← 204.96 m →
42 007 m²		 S 47.851874°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451381683349609 y=0.651767730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451381683349609 × 217)
    floor (0.451381683349609 × 131072)
    floor (59163.5)     		tx = 59163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651767730712891 × 217)
    floor (0.651767730712891 × 131072)
    floor (85428.5)     		ty = 85428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59163 / 85428 ti = "17/59163/85428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59163/85428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59163 ÷ 217
    59163 ÷ 131072     		x = 0.451377868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85428 ÷ 217
    85428 ÷ 131072     		y = 0.651763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451377868652344 × 2 - 1) × π
    -0.0972442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30550186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.30352783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.953560807242157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30550186} λ = -0.30550186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953560807242157))-π/2
    2×atan(0.385366362121843)-π/2
    2×0.367827871213146-π/2
    0.735655742426292-1.57079632675     		φ = -0.83514058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30550186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.503967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83514058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.850031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59163 KachelY 85428 -0.30550186 -0.83514058 -17.503967 -47.850031
    Oben rechts KachelX + 1 59164 KachelY 85428 -0.30545392 -0.83514058 -17.501220 -47.850031
    Unten links KachelX 59163 KachelY + 1 85429 -0.30550186 -0.83517275 -17.503967 -47.851874
    Unten rechts KachelX + 1 59164 KachelY + 1 85429 -0.30545392 -0.83517275 -17.501220 -47.851874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83514058--0.83517275) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83514058--0.83517275) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30550186--0.30545392) × cos(-0.83514058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671073464564413 × 6371000     		do = 204.963109509053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30550186--0.30545392) × cos(-0.83517275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671049613673247 × 6371000     		du = 204.955824832969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83514058)-sin(-0.83517275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671073464564413-0.671049613673247)×R²
    abs(-0.30545392--0.30550186)×2.38508911657442e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38508911657442e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38508911657442e-05×40589641000000     		ar = 42007.4819447999m²