Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59163 / 81690
↖ ↑ ↗
← S 40.501269°
W 17.503967°		 ← 232.24 m → S 40.501269°
W 17.501220°		 →
↑
232.22 m
↓
↑
232.22 m
↓
S 40.503358°
W 17.503967°		 ← 232.24 m →
53 931 m²		 S 40.503358°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451381683349609 y=0.623249053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451381683349609 × 217)
    floor (0.451381683349609 × 131072)
    floor (59163.5)     		tx = 59163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623249053955078 × 217)
    floor (0.623249053955078 × 131072)
    floor (81690.5)     		ty = 81690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59163 / 81690 ti = "17/59163/81690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59163/81690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59163 ÷ 217
    59163 ÷ 131072     		x = 0.451377868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81690 ÷ 217
    81690 ÷ 131072     		y = 0.623245239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451377868652344 × 2 - 1) × π
    -0.0972442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30550186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623245239257812 × 2 - 1) × π
    -0.246490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.774372676462387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30550186} λ = -0.30550186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774372676462387))-π/2
    2×atan(0.460992881995103)-π/2
    2×0.431957911762469-π/2
    0.863915823524939-1.57079632675     		φ = -0.70688050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30550186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.503967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70688050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.501269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59163 KachelY 81690 -0.30550186 -0.70688050 -17.503967 -40.501269
    Oben rechts KachelX + 1 59164 KachelY 81690 -0.30545392 -0.70688050 -17.501220 -40.501269
    Unten links KachelX 59163 KachelY + 1 81691 -0.30550186 -0.70691695 -17.503967 -40.503358
    Unten rechts KachelX + 1 59164 KachelY + 1 81691 -0.30545392 -0.70691695 -17.501220 -40.503358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70688050--0.70691695) × R
    3.64499999999657e-05 × 6371000     		dl = 232.222949999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70688050--0.70691695) × R
    3.64499999999657e-05 × 6371000     		dr = 232.222949999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30550186--0.30545392) × cos(-0.70688050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760391578228307 × 6371000     		do = 232.243160470265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30550186--0.30545392) × cos(-0.70691695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.760367904727819 × 6371000     		du = 232.23592997386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70688050)-sin(-0.70691695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760391578228307-0.760367904727819)×R²
    abs(-0.30545392--0.30550186)×2.36735004882638e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36735004882638e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36735004882638e-05×40589641000000     		ar = 53931.3523040124m²