Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59161 / 33543
↖ ↑ ↗
← N 65.650349°
W 17.509461°		 ← 125.93 m → N 65.650349°
W 17.506714°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
N 65.649217°
W 17.509461°		 ← 125.93 m →
15 854 m²		 N 65.649217°
W 17.506714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451366424560547 y=0.255916595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451366424560547 × 217)
    floor (0.451366424560547 × 131072)
    floor (59161.5)     		tx = 59161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255916595458984 × 217)
    floor (0.255916595458984 × 131072)
    floor (33543.5)     		ty = 33543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59161 / 33543 ti = "17/59161/33543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59161/33543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59161 ÷ 217
    59161 ÷ 131072     		x = 0.451362609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33543 ÷ 217
    33543 ÷ 131072     		y = 0.255912780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451362609863281 × 2 - 1) × π
    -0.0972747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30559774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255912780761719 × 2 - 1) × π
    0.488174438476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.53364522954446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30559774} λ = -0.30559774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53364522954446))-π/2
    2×atan(4.63504185667996)-π/2
    2×1.35830553372095-π/2
    2.71661106744191-1.57079632675     		φ = 1.14581474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30559774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.509461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14581474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.650349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59161 KachelY 33543 -0.30559774 1.14581474 -17.509461 65.650349
    Oben rechts KachelX + 1 59162 KachelY 33543 -0.30554980 1.14581474 -17.506714 65.650349
    Unten links KachelX 59161 KachelY + 1 33544 -0.30559774 1.14579498 -17.509461 65.649217
    Unten rechts KachelX + 1 59162 KachelY + 1 33544 -0.30554980 1.14579498 -17.506714 65.649217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14581474-1.14579498) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14581474-1.14579498) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30559774--0.30554980) × cos(1.14581474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.412304006530481 × 6371000     		do = 125.9282562996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30559774--0.30554980) × cos(1.14579498) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.412322008725367 × 6371000     		du = 125.933754633295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14581474)-sin(1.14579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412304006530481-0.412322008725367)×R²
    abs(-0.30554980--0.30559774)×1.80021948861797e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80021948861797e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80021948861797e-05×40589641000000     		ar = 15853.5751723859m²