Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59160 / 85418
↖ ↑ ↗
← S 47.831596°
W 17.512207°		 ← 204.99 m → S 47.831596°
W 17.509461°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
S 47.833440°
W 17.512207°		 ← 204.99 m →
42 027 m²		 S 47.833440°
W 17.509461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451358795166016 y=0.651691436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451358795166016 × 217)
    floor (0.451358795166016 × 131072)
    floor (59160.5)     		tx = 59160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651691436767578 × 217)
    floor (0.651691436767578 × 131072)
    floor (85418.5)     		ty = 85418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59160 / 85418 ti = "17/59160/85418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59160/85418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59160 ÷ 217
    59160 ÷ 131072     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85418 ÷ 217
    85418 ÷ 131072     		y = 0.651687622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.303375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.953081438245956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953081438245956))-π/2
    2×atan(0.38555113909266)-π/2
    2×0.367988745701824-π/2
    0.735977491403647-1.57079632675     		φ = -0.83481884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83481884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.831596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59160 KachelY 85418 -0.30564567 -0.83481884 -17.512207 -47.831596
    Oben rechts KachelX + 1 59161 KachelY 85418 -0.30559774 -0.83481884 -17.509461 -47.831596
    Unten links KachelX 59160 KachelY + 1 85419 -0.30564567 -0.83485102 -17.512207 -47.833440
    Unten rechts KachelX + 1 59161 KachelY + 1 85419 -0.30559774 -0.83485102 -17.509461 -47.833440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83481884--0.83485102) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dl = 205.018780000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83481884--0.83485102) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dr = 205.018780000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30559774) × cos(-0.83481884) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6713119649215 × 6371000     		do = 204.993184371606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30559774) × cos(-0.83485102) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.671288113565343 × 6371000     		du = 204.985901073072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83481884)-sin(-0.83485102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6713119649215-0.671288113565343)×R²
    abs(-0.30559774--0.30564567)×2.3851356157456e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3851356157456e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3851356157456e-05×40589641000000     		ar = 42026.7059655445m²