Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59160 / 45339
↖ ↑ ↗
← N 48.409149°
W 17.512207°		 ← 202.70 m → N 48.409149°
W 17.509461°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.407326°
W 17.512207°		 ← 202.71 m →
41 093 m²		 N 48.407326°
W 17.509461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451358795166016 y=0.345912933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451358795166016 × 217)
    floor (0.451358795166016 × 131072)
    floor (59160.5)     		tx = 59160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345912933349609 × 217)
    floor (0.345912933349609 × 131072)
    floor (45339.5)     		ty = 45339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59160 / 45339 ti = "17/59160/45339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59160/45339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59160 ÷ 217
    59160 ÷ 131072     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45339 ÷ 217
    45339 ÷ 131072     		y = 0.345909118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345909118652344 × 2 - 1) × π
    0.308181762695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.968181561626274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968181561626274))-π/2
    2×atan(2.63315187874839)-π/2
    2×1.20784768518215-π/2
    2.41569537036429-1.57079632675     		φ = 0.84489904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84489904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.409149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59160 KachelY 45339 -0.30564567 0.84489904 -17.512207 48.409149
    Oben rechts KachelX + 1 59161 KachelY 45339 -0.30559774 0.84489904 -17.509461 48.409149
    Unten links KachelX 59160 KachelY + 1 45340 -0.30564567 0.84486722 -17.512207 48.407326
    Unten rechts KachelX + 1 59161 KachelY + 1 45340 -0.30559774 0.84486722 -17.509461 48.407326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84489904-0.84486722) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84489904-0.84486722) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30559774) × cos(0.84489904) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663806794267568 × 6371000     		do = 202.701390225226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30559774) × cos(0.84486722) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		du = 202.70865722237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84489904)-sin(0.84486722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663806794267568-0.663830592239908)×R²
    abs(-0.30559774--0.30564567)×2.37979723397563e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37979723397563e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37979723397563e-05×40589641000000     		ar = 41093.4205329649m²