Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59159 / 45338
↖ ↑ ↗
← N 48.410972°
W 17.514954°		 ← 202.74 m → N 48.410972°
W 17.512207°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 48.409149°
W 17.514954°		 ← 202.74 m →
41 101 m²		 N 48.409149°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451351165771484 y=0.345905303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451351165771484 × 217)
    floor (0.451351165771484 × 131072)
    floor (59159.5)     		tx = 59159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345905303955078 × 217)
    floor (0.345905303955078 × 131072)
    floor (45338.5)     		ty = 45338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59159 / 45338 ti = "17/59159/45338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59159/45338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59159 ÷ 217
    59159 ÷ 131072     		x = 0.451347351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45338 ÷ 217
    45338 ÷ 131072     		y = 0.345901489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451347351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0973052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30569361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345901489257812 × 2 - 1) × π
    0.308197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.968229498525894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30569361} λ = -0.30569361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968229498525894))-π/2
    2×atan(2.63327810691115)-π/2
    2×1.2078635953167-π/2
    2.41572719063341-1.57079632675     		φ = 0.84493086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30569361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.514954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84493086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.410972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59159 KachelY 45338 -0.30569361 0.84493086 -17.514954 48.410972
    Oben rechts KachelX + 1 59160 KachelY 45338 -0.30564567 0.84493086 -17.512207 48.410972
    Unten links KachelX 59159 KachelY + 1 45339 -0.30569361 0.84489904 -17.514954 48.409149
    Unten rechts KachelX + 1 59160 KachelY + 1 45339 -0.30564567 0.84489904 -17.512207 48.409149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84493086-0.84489904) × R
    3.18199999999047e-05 × 6371000     		dl = 202.725219999393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84493086-0.84489904) × R
    3.18199999999047e-05 × 6371000     		dr = 202.725219999393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30569361--0.30564567) × cos(0.84493086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663782995623116 × 6371000     		do = 202.736412637709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30569361--0.30564567) × cos(0.84489904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663806794267568 × 6371000     		du = 202.743681356302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84493086)-sin(0.84489904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663782995623116-0.663806794267568)×R²
    abs(-0.30564567--0.30569361)×2.37986444522331e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37986444522331e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37986444522331e-05×40589641000000     		ar = 41100.5206335765m²