Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59159 / 39612
↖ ↑ ↗
← N 57.803798°
W 17.514954°		 ← 162.74 m → N 57.803798°
W 17.512207°		 →
↑
162.78 m
↓
↑
162.78 m
↓
N 57.802334°
W 17.514954°		 ← 162.74 m →
26 491 m²		 N 57.802334°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451351165771484 y=0.302219390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451351165771484 × 217)
    floor (0.451351165771484 × 131072)
    floor (59159.5)     		tx = 59159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302219390869141 × 217)
    floor (0.302219390869141 × 131072)
    floor (39612.5)     		ty = 39612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59159 / 39612 ti = "17/59159/39612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59159/39612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59159 ÷ 217
    59159 ÷ 131072     		x = 0.451347351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39612 ÷ 217
    39612 ÷ 131072     		y = 0.302215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451347351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0973052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30569361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302215576171875 × 2 - 1) × π
    0.39556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24271618575034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30569361} λ = -0.30569361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24271618575034))-π/2
    2×atan(3.46501231154272)-π/2
    2×1.28983146186562-π/2
    2.57966292373124-1.57079632675     		φ = 1.00886660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30569361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.514954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00886660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.803798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59159 KachelY 39612 -0.30569361 1.00886660 -17.514954 57.803798
    Oben rechts KachelX + 1 59160 KachelY 39612 -0.30564567 1.00886660 -17.512207 57.803798
    Unten links KachelX 59159 KachelY + 1 39613 -0.30569361 1.00884105 -17.514954 57.802334
    Unten rechts KachelX + 1 59160 KachelY + 1 39613 -0.30564567 1.00884105 -17.512207 57.802334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00886660-1.00884105) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dl = 162.779049999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00886660-1.00884105) × R
    2.55499999999298e-05 × 6371000     		dr = 162.779049999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30569361--0.30564567) × cos(1.00886660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.532820178768629 × 6371000     		do = 162.736997387423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30569361--0.30564567) × cos(1.00884105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.53284179973263 × 6371000     		du = 162.743600986352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00886660)-sin(1.00884105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532820178768629-0.53284179973263)×R²
    abs(-0.30564567--0.30569361)×2.16209640010456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16209640010456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16209640010456e-05×40589641000000     		ar = 26490.7112998406m²