Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59158 / 59994
↖ ↑ ↗
← S 81.590880°
E144.964599°		 ← 89.33 m → S 81.590880°
E144.970093°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 81.591684°
E144.964599°		 ← 89.32 m →
7 979 m²		 S 81.591684°
E144.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902687072753906 y=0.915443420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902687072753906 × 216)
    floor (0.902687072753906 × 65536)
    floor (59158.5)     		tx = 59158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915443420410156 × 216)
    floor (0.915443420410156 × 65536)
    floor (59994.5)     		ty = 59994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59158 / 59994 ti = "16/59158/59994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59158/59994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59158 ÷ 216
    59158 ÷ 65536     		x = 0.902679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59994 ÷ 216
    59994 ÷ 65536     		y = 0.915435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902679443359375 × 2 - 1) × π
    0.80535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53010956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.83087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.6102600581113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53010956} λ = 2.53010956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6102600581113))-π/2
    2×atan(0.0735154229948541)-π/2
    2×0.0733834123421438-π/2
    0.146766824684288-1.57079632675     		φ = -1.42402950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53010956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.964599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42402950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.590880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59158 KachelY 59994 2.53010956 -1.42402950 144.964599 -81.590880
    Oben rechts KachelX + 1 59159 KachelY 59994 2.53020544 -1.42402950 144.970093 -81.590880
    Unten links KachelX 59158 KachelY + 1 59995 2.53010956 -1.42404352 144.964599 -81.591684
    Unten rechts KachelX + 1 59159 KachelY + 1 59995 2.53020544 -1.42404352 144.970093 -81.591684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42402950--1.42404352) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dl = 89.3214199989611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42402950--1.42404352) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dr = 89.3214199989611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53010956-2.53020544) × cos(-1.42402950) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14624048881985 × 6371000     		do = 89.3312190314703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53010956-2.53020544) × cos(-1.42404352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146226619533539 × 6371000     		du = 89.3227469574004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42402950)-sin(-1.42404352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14624048881985-0.146226619533539)×R²
    abs(2.53020544-2.53010956)×1.3869286311613e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.3869286311613e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.3869286311613e-05×40589641000000     		ar = 7978.81296538649m²