Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59157 / 85641
↖ ↑ ↗
← S 48.241138°
W 17.520447°		 ← 203.37 m → S 48.241138°
W 17.517700°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
S 48.242967°
W 17.520447°		 ← 203.36 m →
41 357 m²		 S 48.242967°
W 17.517700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451335906982422 y=0.653392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451335906982422 × 217)
    floor (0.451335906982422 × 131072)
    floor (59157.5)     		tx = 59157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653392791748047 × 217)
    floor (0.653392791748047 × 131072)
    floor (85641.5)     		ty = 85641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59157 / 85641 ti = "17/59157/85641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59157/85641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59157 ÷ 217
    59157 ÷ 131072     		x = 0.451332092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85641 ÷ 217
    85641 ÷ 131072     		y = 0.653388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451332092285156 × 2 - 1) × π
    -0.0973358154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30578948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.306777954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.963771366861229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30578948} λ = -0.30578948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963771366861229))-π/2
    2×atan(0.381451575996228)-π/2
    2×0.364414814821011-π/2
    0.728829629642021-1.57079632675     		φ = -0.84196670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30578948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.520447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84196670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.241138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59157 KachelY 85641 -0.30578948 -0.84196670 -17.520447 -48.241138
    Oben rechts KachelX + 1 59158 KachelY 85641 -0.30574155 -0.84196670 -17.517700 -48.241138
    Unten links KachelX 59157 KachelY + 1 85642 -0.30578948 -0.84199862 -17.520447 -48.242967
    Unten rechts KachelX + 1 59158 KachelY + 1 85642 -0.30574155 -0.84199862 -17.517700 -48.242967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84196670--0.84199862) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dl = 203.362320000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84196670--0.84199862) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dr = 203.362320000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30578948--0.30574155) × cos(-0.84196670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665997046319064 × 6371000     		do = 203.370210038118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30578948--0.30574155) × cos(-0.84199862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665973235116029 × 6371000     		du = 203.362939000822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84196670)-sin(-0.84199862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665997046319064-0.665973235116029)×R²
    abs(-0.30574155--0.30578948)×2.38112030345183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38112030345183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38112030345183e-05×40589641000000     		ar = 41357.0984083139m²