Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59157 / 44849
↖ ↑ ↗
← N 49.294681°
W 17.520447°		 ← 199.15 m → N 49.294681°
W 17.517700°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 49.292889°
W 17.520447°		 ← 199.15 m →
39 675 m²		 N 49.292889°
W 17.517700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451335906982422 y=0.342174530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451335906982422 × 217)
    floor (0.451335906982422 × 131072)
    floor (59157.5)     		tx = 59157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342174530029297 × 217)
    floor (0.342174530029297 × 131072)
    floor (44849.5)     		ty = 44849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59157 / 44849 ti = "17/59157/44849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59157/44849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59157 ÷ 217
    59157 ÷ 131072     		x = 0.451332092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44849 ÷ 217
    44849 ÷ 131072     		y = 0.342170715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451332092285156 × 2 - 1) × π
    -0.0973358154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30578948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342170715332031 × 2 - 1) × π
    0.315658569335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.991670642440102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30578948} λ = -0.30578948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991670642440102))-π/2
    2×atan(2.6957343206472)-π/2
    2×1.21557540173846-π/2
    2.43115080347692-1.57079632675     		φ = 0.86035448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30578948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.520447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86035448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.294681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59157 KachelY 44849 -0.30578948 0.86035448 -17.520447 49.294681
    Oben rechts KachelX + 1 59158 KachelY 44849 -0.30574155 0.86035448 -17.517700 49.294681
    Unten links KachelX 59157 KachelY + 1 44850 -0.30578948 0.86032321 -17.520447 49.292889
    Unten rechts KachelX + 1 59158 KachelY + 1 44850 -0.30574155 0.86032321 -17.517700 49.292889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86035448-0.86032321) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dl = 199.221170000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86035448-0.86032321) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dr = 199.221170000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30578948--0.30574155) × cos(0.86035448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.652168787146619 × 6371000     		do = 199.147584745851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30578948--0.30574155) × cos(0.86032321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65219249179522 × 6371000     		du = 199.154823245469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86035448)-sin(0.86032321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652168787146619-0.65219249179522)×R²
    abs(-0.30574155--0.30578948)×2.37046486009085e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37046486009085e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37046486009085e-05×40589641000000     		ar = 39675.1358702473m²