Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59156 / 85423
↖ ↑ ↗
← S 47.840814°
W 17.523193°		 ← 205 m → S 47.840814°
W 17.520447°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
S 47.842658°
W 17.523193°		 ← 204.99 m →
42 028 m²		 S 47.842658°
W 17.520447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451328277587891 y=0.651729583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451328277587891 × 217)
    floor (0.451328277587891 × 131072)
    floor (59156.5)     		tx = 59156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651729583740234 × 217)
    floor (0.651729583740234 × 131072)
    floor (85423.5)     		ty = 85423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59156 / 85423 ti = "17/59156/85423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59156/85423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59156 ÷ 217
    59156 ÷ 131072     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85423 ÷ 217
    85423 ÷ 131072     		y = 0.651725769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651725769042969 × 2 - 1) × π
    -0.303451538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.953321122744057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953321122744057))-π/2
    2×atan(0.385458739535208)-π/2
    2×0.36790830131168-π/2
    0.735816602623361-1.57079632675     		φ = -0.83497972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83497972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.840814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59156 KachelY 85423 -0.30583742 -0.83497972 -17.523193 -47.840814
    Oben rechts KachelX + 1 59157 KachelY 85423 -0.30578948 -0.83497972 -17.520447 -47.840814
    Unten links KachelX 59156 KachelY + 1 85424 -0.30583742 -0.83501190 -17.523193 -47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 59157 KachelY + 1 85424 -0.30578948 -0.83501190 -17.520447 -47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83497972--0.83501190) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dl = 205.018780000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83497972--0.83501190) × R
    3.21800000000483e-05 × 6371000     		dr = 205.018780000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(-0.83497972) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671192716015079 × 6371000     		do = 204.999531971618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(-0.83501190) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 204.992246092132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83497972)-sin(-0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671192716015079-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.30578948--0.30583742)×2.38548312484488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38548312484488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38548312484488e-05×40589641000000     		ar = 42028.0070780851m²