Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59156 / 82672
↖ ↑ ↗
← S 42.520700°
W 17.523193°		 ← 225.11 m → S 42.520700°
W 17.520447°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 42.522724°
W 17.523193°		 ← 225.10 m →
50 668 m²		 S 42.522724°
W 17.520447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451328277587891 y=0.630741119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451328277587891 × 217)
    floor (0.451328277587891 × 131072)
    floor (59156.5)     		tx = 59156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630741119384766 × 217)
    floor (0.630741119384766 × 131072)
    floor (82672.5)     		ty = 82672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59156 / 82672 ti = "17/59156/82672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59156/82672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59156 ÷ 217
    59156 ÷ 131072     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82672 ÷ 217
    82672 ÷ 131072     		y = 0.6307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821446711889282))-π/2
    2×atan(0.439794937479108)-π/2
    2×0.414335059888668-π/2
    0.828670119777337-1.57079632675     		φ = -0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59156 KachelY 82672 -0.30583742 -0.74212621 -17.523193 -42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 59157 KachelY 82672 -0.30578948 -0.74212621 -17.520447 -42.520700
    Unten links KachelX 59156 KachelY + 1 82673 -0.30583742 -0.74216154 -17.523193 -42.522724
    Unten rechts KachelX + 1 59157 KachelY + 1 82673 -0.30578948 -0.74216154 -17.520447 -42.522724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74212621--0.74216154) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74212621--0.74216154) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(-0.74212621) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 225.108914450698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(-0.74216154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737009334415956 × 6371000     		du = 225.101621351014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74212621)-sin(-0.74216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.737009334415956)×R²
    abs(-0.30578948--0.30583742)×2.3878471027805e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3878471027805e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3878471027805e-05×40589641000000     		ar = 50668.3662365162m²