Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59156 / 45396
↖ ↑ ↗
← N 48.305121°
W 17.523193°		 ← 203.16 m → N 48.305121°
W 17.520447°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 48.303294°
W 17.523193°		 ← 203.17 m →
41 264 m²		 N 48.303294°
W 17.520447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451328277587891 y=0.346347808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451328277587891 × 217)
    floor (0.451328277587891 × 131072)
    floor (59156.5)     		tx = 59156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346347808837891 × 217)
    floor (0.346347808837891 × 131072)
    floor (45396.5)     		ty = 45396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59156 / 45396 ti = "17/59156/45396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59156/45396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59156 ÷ 217
    59156 ÷ 131072     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45396 ÷ 217
    45396 ÷ 131072     		y = 0.346343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346343994140625 × 2 - 1) × π
    0.30731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965449158347931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965449158347931))-π/2
    2×atan(2.62596686656823)-π/2
    2×1.20693986446919-π/2
    2.41387972893838-1.57079632675     		φ = 0.84308340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84308340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.305121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59156 KachelY 45396 -0.30583742 0.84308340 -17.523193 48.305121
    Oben rechts KachelX + 1 59157 KachelY 45396 -0.30578948 0.84308340 -17.520447 48.305121
    Unten links KachelX 59156 KachelY + 1 45397 -0.30583742 0.84305152 -17.523193 48.303294
    Unten rechts KachelX + 1 59157 KachelY + 1 45397 -0.30578948 0.84305152 -17.520447 48.303294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84308340-0.84305152) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84308340-0.84305152) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(0.84308340) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		do = 203.158092076099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30578948) × cos(0.84305152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665187428365181 × 6371000     		du = 203.165362547234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84308340)-sin(0.84305152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665163623982698-0.665187428365181)×R²
    abs(-0.30578948--0.30583742)×2.38043824832834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38043824832834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38043824832834e-05×40589641000000     		ar = 41263.6664700484m²