Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59154 / 60018
↖ ↑ ↗
← S 81.610138°
E144.942627°		 ← 89.12 m → S 81.610138°
E144.948120°		 →
↑
89.13 m
↓
↑
89.13 m
↓
S 81.610940°
E144.942627°		 ← 89.11 m →
7 943 m²		 S 81.610940°
E144.948120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902626037597656 y=0.915809631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902626037597656 × 216)
    floor (0.902626037597656 × 65536)
    floor (59154.5)     		tx = 59154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915809631347656 × 216)
    floor (0.915809631347656 × 65536)
    floor (60018.5)     		ty = 60018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59154 / 60018 ti = "16/59154/60018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59154/60018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59154 ÷ 216
    59154 ÷ 65536     		x = 0.902618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60018 ÷ 216
    60018 ÷ 65536     		y = 0.915802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902618408203125 × 2 - 1) × π
    0.80523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.52972607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.83160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61256102929306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52972607} λ = 2.52972607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61256102929306))-π/2
    2×atan(0.073346460588489)-π/2
    2×0.0732153561127045-π/2
    0.146430712225409-1.57079632675     		φ = -1.42436561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52972607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42436561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.610138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59154 KachelY 60018 2.52972607 -1.42436561 144.942627 -81.610138
    Oben rechts KachelX + 1 59155 KachelY 60018 2.52982194 -1.42436561 144.948120 -81.610138
    Unten links KachelX 59154 KachelY + 1 60019 2.52972607 -1.42437960 144.942627 -81.610940
    Unten rechts KachelX + 1 59155 KachelY + 1 60019 2.52982194 -1.42437960 144.948120 -81.610940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42436561--1.42437960) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dl = 89.1302900001227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42436561--1.42437960) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dr = 89.1302900001227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52972607-2.52982194) × cos(-1.42436561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145907984061325 × 6371000     		do = 89.1188122100102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52972607-2.52982194) × cos(-1.42437960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145894143765712 × 6371000     		du = 89.1103587267166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42436561)-sin(-1.42437960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145907984061325-0.145894143765712)×R²
    abs(2.52982194-2.52972607)×1.3840295612938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3840295612938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3840295612938e-05×40589641000000     		ar = 7942.80884622929m²