Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59154 / 44858
↖ ↑ ↗
← N 49.278556°
W 17.528686°		 ← 199.21 m → N 49.278556°
W 17.525940°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 49.276765°
W 17.528686°		 ← 199.22 m →
39 688 m²		 N 49.276765°
W 17.525940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451313018798828 y=0.342243194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451313018798828 × 217)
    floor (0.451313018798828 × 131072)
    floor (59154.5)     		tx = 59154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342243194580078 × 217)
    floor (0.342243194580078 × 131072)
    floor (44858.5)     		ty = 44858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59154 / 44858 ti = "17/59154/44858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59154/44858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59154 ÷ 217
    59154 ÷ 131072     		x = 0.451309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44858 ÷ 217
    44858 ÷ 131072     		y = 0.342239379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.097381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30593329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342239379882812 × 2 - 1) × π
    0.315521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.991239210343521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30593329} λ = -0.30593329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991239210343521))-π/2
    2×atan(2.69457154518478)-π/2
    2×1.21543469545793-π/2
    2.43086939091587-1.57079632675     		φ = 0.86007306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30593329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.528686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86007306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.278556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59154 KachelY 44858 -0.30593329 0.86007306 -17.528686 49.278556
    Oben rechts KachelX + 1 59155 KachelY 44858 -0.30588536 0.86007306 -17.525940 49.278556
    Unten links KachelX 59154 KachelY + 1 44859 -0.30593329 0.86004179 -17.528686 49.276765
    Unten rechts KachelX + 1 59155 KachelY + 1 44859 -0.30588536 0.86004179 -17.525940 49.276765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86007306-0.86004179) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dl = 199.221169999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86007306-0.86004179) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dr = 199.221169999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30593329--0.30588536) × cos(0.86007306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		do = 199.212721917001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30593329--0.30588536) × cos(0.86004179) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.652405797353648 × 6371000     		du = 199.2199586638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86007306)-sin(0.86004179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652382098445178-0.652405797353648)×R²
    abs(-0.30588536--0.30593329)×2.36989084703154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36989084703154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36989084703154e-05×40589641000000     		ar = 39688.1123988418m²