Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59154 / 27095
↖ ↑ ↗
← N 72.000218°
W 17.528686°		 ← 94.36 m → N 72.000218°
W 17.525940°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 71.999370°
W 17.528686°		 ← 94.37 m →
8 904 m²		 N 71.999370°
W 17.525940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451313018798828 y=0.206722259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451313018798828 × 217)
    floor (0.451313018798828 × 131072)
    floor (59154.5)     		tx = 59154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206722259521484 × 217)
    floor (0.206722259521484 × 131072)
    floor (27095.5)     		ty = 27095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59154 / 27095 ti = "17/59154/27095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59154/27095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59154 ÷ 217
    59154 ÷ 131072     		x = 0.451309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27095 ÷ 217
    27095 ÷ 131072     		y = 0.206718444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.097381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30593329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206718444824219 × 2 - 1) × π
    0.586563110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.84274235829458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30593329} λ = -0.30593329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84274235829458))-π/2
    2×atan(6.31382932326139)-π/2
    2×1.41371859820415-π/2
    2.82743719640831-1.57079632675     		φ = 1.25664087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30593329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.528686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25664087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.000218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59154 KachelY 27095 -0.30593329 1.25664087 -17.528686 72.000218
    Oben rechts KachelX + 1 59155 KachelY 27095 -0.30588536 1.25664087 -17.525940 72.000218
    Unten links KachelX 59154 KachelY + 1 27096 -0.30593329 1.25662606 -17.528686 71.999370
    Unten rechts KachelX + 1 59155 KachelY + 1 27096 -0.30588536 1.25662606 -17.525940 71.999370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25664087-1.25662606) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25664087-1.25662606) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30593329--0.30588536) × cos(1.25664087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309013372213018 × 6371000     		do = 94.3609506361704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30593329--0.30588536) × cos(1.25662606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309027457343564 × 6371000     		du = 94.365251700227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25664087)-sin(1.25662606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309013372213018-0.309027457343564)×R²
    abs(-0.30588536--0.30593329)×1.40851305467926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40851305467926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40851305467926e-05×40589641000000     		ar = 8903.58417282301m²