Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59153 / 85774
↖ ↑ ↗
← S 48.483846°
W 17.531433°		 ← 202.45 m → S 48.483846°
W 17.528686°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 48.485666°
W 17.531433°		 ← 202.44 m →
40 976 m²		 S 48.485666°
W 17.528686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451305389404297 y=0.654407501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451305389404297 × 217)
    floor (0.451305389404297 × 131072)
    floor (59153.5)     		tx = 59153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654407501220703 × 217)
    floor (0.654407501220703 × 131072)
    floor (85774.5)     		ty = 85774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59153 / 85774 ti = "17/59153/85774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59153/85774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59153 ÷ 217
    59153 ÷ 131072     		x = 0.451301574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85774 ÷ 217
    85774 ÷ 131072     		y = 0.654403686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451301574707031 × 2 - 1) × π
    -0.0973968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30598123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.308807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970146974510696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30598123} λ = -0.30598123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970146974510696))-π/2
    2×atan(0.379027326653542)-π/2
    2×0.362296793793196-π/2
    0.724593587586391-1.57079632675     		φ = -0.84620274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30598123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.531433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84620274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.483846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59153 KachelY 85774 -0.30598123 -0.84620274 -17.531433 -48.483846
    Oben rechts KachelX + 1 59154 KachelY 85774 -0.30593329 -0.84620274 -17.528686 -48.483846
    Unten links KachelX 59153 KachelY + 1 85775 -0.30598123 -0.84623451 -17.531433 -48.485666
    Unten rechts KachelX + 1 59154 KachelY + 1 85775 -0.30593329 -0.84623451 -17.528686 -48.485666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84620274--0.84623451) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84620274--0.84623451) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30598123--0.30593329) × cos(-0.84620274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662831187857023 × 6371000     		do = 202.445706046178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30598123--0.30593329) × cos(-0.84623451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662807399135609 × 6371000     		du = 202.438440358336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84620274)-sin(-0.84623451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662831187857023-0.662807399135609)×R²
    abs(-0.30593329--0.30598123)×2.37887214139532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37887214139532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37887214139532e-05×40589641000000     		ar = 40975.6259083553m²