Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59153 / 85437
↖ ↑ ↗
← S 47.866617°
W 17.531433°		 ← 204.90 m → S 47.866617°
W 17.528686°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
S 47.868459°
W 17.531433°		 ← 204.89 m →
41 981 m²		 S 47.868459°
W 17.528686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451305389404297 y=0.651836395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451305389404297 × 217)
    floor (0.451305389404297 × 131072)
    floor (59153.5)     		tx = 59153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651836395263672 × 217)
    floor (0.651836395263672 × 131072)
    floor (85437.5)     		ty = 85437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59153 / 85437 ti = "17/59153/85437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59153/85437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59153 ÷ 217
    59153 ÷ 131072     		x = 0.451301574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85437 ÷ 217
    85437 ÷ 131072     		y = 0.651832580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451301574707031 × 2 - 1) × π
    -0.0973968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30598123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651832580566406 × 2 - 1) × π
    -0.303665161132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.953992239338738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30598123} λ = -0.30598123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953992239338738))-π/2
    2×atan(0.385200138563949)-π/2
    2×0.367683133049173-π/2
    0.735366266098346-1.57079632675     		φ = -0.83543006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30598123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.531433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83543006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.866617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59153 KachelY 85437 -0.30598123 -0.83543006 -17.531433 -47.866617
    Oben rechts KachelX + 1 59154 KachelY 85437 -0.30593329 -0.83543006 -17.528686 -47.866617
    Unten links KachelX 59153 KachelY + 1 85438 -0.30598123 -0.83546222 -17.531433 -47.868459
    Unten rechts KachelX + 1 59154 KachelY + 1 85438 -0.30593329 -0.83546222 -17.528686 -47.868459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83543006--0.83546222) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dl = 204.891360000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83543006--0.83546222) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dr = 204.891360000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30598123--0.30593329) × cos(-0.83543006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670858818624143 × 6371000     		do = 204.89755111367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30598123--0.30593329) × cos(-0.83546222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		du = 204.890266794249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83543006)-sin(-0.83546222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670858818624143-0.670834968900734)×R²
    abs(-0.30593329--0.30598123)×2.38497234082979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38497234082979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38497234082979e-05×40589641000000     		ar = 41980.9916649652m²