Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59152 / 85776
↖ ↑ ↗
← S 48.487487°
W 17.534180°		 ← 202.43 m → S 48.487487°
W 17.531433°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 48.489307°
W 17.534180°		 ← 202.42 m →
40 973 m²		 S 48.489307°
W 17.531433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451297760009766 y=0.654422760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451297760009766 × 217)
    floor (0.451297760009766 × 131072)
    floor (59152.5)     		tx = 59152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654422760009766 × 217)
    floor (0.654422760009766 × 131072)
    floor (85776.5)     		ty = 85776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59152 / 85776 ti = "17/59152/85776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59152/85776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59152 ÷ 217
    59152 ÷ 131072     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85776 ÷ 217
    85776 ÷ 131072     		y = 0.6544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970242848309937))-π/2
    2×atan(0.378990989605633)-π/2
    2×0.362265020861532-π/2
    0.724530041723063-1.57079632675     		φ = -0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59152 KachelY 85776 -0.30602917 -0.84626629 -17.534180 -48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 59153 KachelY 85776 -0.30598123 -0.84626629 -17.531433 -48.487487
    Unten links KachelX 59152 KachelY + 1 85777 -0.30602917 -0.84629806 -17.534180 -48.489307
    Unten rechts KachelX + 1 59153 KachelY + 1 85777 -0.30598123 -0.84629806 -17.531433 -48.489307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84626629--0.84629806) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dl = 202.406669999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84626629--0.84629806) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dr = 202.406669999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(-0.84626629) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 202.43117217934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(-0.84629806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662759812197506 × 6371000     		du = 202.423906082786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84626629)-sin(-0.84629806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662759812197506)×R²
    abs(-0.30598123--0.30602917)×2.379005958697e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.379005958697e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.379005958697e-05×40589641000000     		ar = 40972.6841153703m²