Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59152 / 38672
↖ ↑ ↗
← N 59.153403°
W 17.534180°		 ← 156.60 m → N 59.153403°
W 17.531433°		 →
↑
156.60 m
↓
↑
156.60 m
↓
N 59.151995°
W 17.534180°		 ← 156.61 m →
24 525 m²		 N 59.151995°
W 17.531433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451297760009766 y=0.295047760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451297760009766 × 217)
    floor (0.451297760009766 × 131072)
    floor (59152.5)     		tx = 59152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295047760009766 × 217)
    floor (0.295047760009766 × 131072)
    floor (38672.5)     		ty = 38672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59152 / 38672 ti = "17/59152/38672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59152/38672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59152 ÷ 217
    59152 ÷ 131072     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38672 ÷ 217
    38672 ÷ 131072     		y = 0.2950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2950439453125 × 2 - 1) × π
    0.409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28777687139319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28777687139319))-π/2
    2×atan(3.62471937455146)-π/2
    2×1.30160898724585-π/2
    2.6032179744917-1.57079632675     		φ = 1.03242165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03242165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.153403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59152 KachelY 38672 -0.30602917 1.03242165 -17.534180 59.153403
    Oben rechts KachelX + 1 59153 KachelY 38672 -0.30598123 1.03242165 -17.531433 59.153403
    Unten links KachelX 59152 KachelY + 1 38673 -0.30602917 1.03239707 -17.534180 59.151995
    Unten rechts KachelX + 1 59153 KachelY + 1 38673 -0.30598123 1.03239707 -17.531433 59.151995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03242165-1.03239707) × R
    2.45800000000518e-05 × 6371000     		dl = 156.59918000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03242165-1.03239707) × R
    2.45800000000518e-05 × 6371000     		dr = 156.59918000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(1.03242165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512741259353764 × 6371000     		do = 156.604378566734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30598123) × cos(1.03239707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512762362190363 × 6371000     		du = 156.610823916218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03242165)-sin(1.03239707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512741259353764-0.512762362190363)×R²
    abs(-0.30598123--0.30602917)×2.11028365985078e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11028365985078e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11028365985078e-05×40589641000000     		ar = 24524.6219373418m²