Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59151 / 81811
↖ ↑ ↗
← S 40.753499°
W 17.536926°		 ← 231.32 m → S 40.753499°
W 17.534180°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 40.755579°
W 17.536926°		 ← 231.31 m →
53 511 m²		 S 40.755579°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451290130615234 y=0.624172210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451290130615234 × 217)
    floor (0.451290130615234 × 131072)
    floor (59151.5)     		tx = 59151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624172210693359 × 217)
    floor (0.624172210693359 × 131072)
    floor (81811.5)     		ty = 81811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59151 / 81811 ti = "17/59151/81811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59151/81811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59151 ÷ 217
    59151 ÷ 131072     		x = 0.451286315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81811 ÷ 217
    81811 ÷ 131072     		y = 0.624168395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451286315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0974273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30607710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624168395996094 × 2 - 1) × π
    -0.248336791992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.780173041316414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30607710} λ = -0.30607710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780173041316414))-π/2
    2×atan(0.458326694988273)-π/2
    2×0.429756793162156-π/2
    0.859513586324313-1.57079632675     		φ = -0.71128274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30607710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.536926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71128274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.753499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59151 KachelY 81811 -0.30607710 -0.71128274 -17.536926 -40.753499
    Oben rechts KachelX + 1 59152 KachelY 81811 -0.30602917 -0.71128274 -17.534180 -40.753499
    Unten links KachelX 59151 KachelY + 1 81812 -0.30607710 -0.71131905 -17.536926 -40.755579
    Unten rechts KachelX + 1 59152 KachelY + 1 81812 -0.30602917 -0.71131905 -17.534180 -40.755579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71128274--0.71131905) × R
    3.63099999999283e-05 × 6371000     		dl = 231.331009999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71128274--0.71131905) × R
    3.63099999999283e-05 × 6371000     		dr = 231.331009999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(-0.71128274) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.75752511905583 × 6371000     		do = 231.319408130754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(-0.71131905) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.757501415170042 × 6371000     		du = 231.312169864071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71128274)-sin(-0.71131905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75752511905583-0.757501415170042)×R²
    abs(-0.30602917--0.30607710)×2.37038857877625e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37038857877625e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37038857877625e-05×40589641000000     		ar = 53510.5151036133m²