Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59151 / 45389
↖ ↑ ↗
← N 48.317908°
W 17.536926°		 ← 203.06 m → N 48.317908°
W 17.534180°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 48.316081°
W 17.536926°		 ← 203.07 m →
41 245 m²		 N 48.316081°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451290130615234 y=0.346294403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451290130615234 × 217)
    floor (0.451290130615234 × 131072)
    floor (59151.5)     		tx = 59151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346294403076172 × 217)
    floor (0.346294403076172 × 131072)
    floor (45389.5)     		ty = 45389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59151 / 45389 ti = "17/59151/45389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59151/45389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59151 ÷ 217
    59151 ÷ 131072     		x = 0.451286315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45389 ÷ 217
    45389 ÷ 131072     		y = 0.346290588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451286315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0974273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30607710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346290588378906 × 2 - 1) × π
    0.307418823242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.965784716645271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30607710} λ = -0.30607710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965784716645271))-π/2
    2×atan(2.6268481793965)-π/2
    2×1.20705145107437-π/2
    2.41410290214873-1.57079632675     		φ = 0.84330658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30607710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.536926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84330658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.317908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59151 KachelY 45389 -0.30607710 0.84330658 -17.536926 48.317908
    Oben rechts KachelX + 1 59152 KachelY 45389 -0.30602917 0.84330658 -17.534180 48.317908
    Unten links KachelX 59151 KachelY + 1 45390 -0.30607710 0.84327470 -17.536926 48.316081
    Unten rechts KachelX + 1 59152 KachelY + 1 45390 -0.30602917 0.84327470 -17.534180 48.316081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84330658-0.84327470) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84330658-0.84327470) × R
    3.18799999999841e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(0.84330658) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664996959440945 × 6371000     		do = 203.064821478604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(0.84327470) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665020768555545 × 6371000     		du = 203.072091878171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84330658)-sin(0.84327470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664996959440945-0.665020768555545)×R²
    abs(-0.30602917--0.30607710)×2.38091145999819e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38091145999819e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38091145999819e-05×40589641000000     		ar = 41244.7225070796m²