Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59151 / 35377
↖ ↑ ↗
← N 63.488541°
W 17.536926°		 ← 136.31 m → N 63.488541°
W 17.534180°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 63.487315°
W 17.536926°		 ← 136.31 m →
18 576 m²		 N 63.487315°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451290130615234 y=0.269908905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451290130615234 × 217)
    floor (0.451290130615234 × 131072)
    floor (59151.5)     		tx = 59151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269908905029297 × 217)
    floor (0.269908905029297 × 131072)
    floor (35377.5)     		ty = 35377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59151 / 35377 ti = "17/59151/35377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59151/35377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59151 ÷ 217
    59151 ÷ 131072     		x = 0.451286315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35377 ÷ 217
    35377 ÷ 131072     		y = 0.269905090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451286315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0974273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30607710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269905090332031 × 2 - 1) × π
    0.460189819335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.44572895564127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30607710} λ = -0.30607710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44572895564127))-π/2
    2×atan(4.24494539215319)-π/2
    2×1.339440200696-π/2
    2.67888040139201-1.57079632675     		φ = 1.10808407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30607710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.536926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10808407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.488541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59151 KachelY 35377 -0.30607710 1.10808407 -17.536926 63.488541
    Oben rechts KachelX + 1 59152 KachelY 35377 -0.30602917 1.10808407 -17.534180 63.488541
    Unten links KachelX 59151 KachelY + 1 35378 -0.30607710 1.10806268 -17.536926 63.487315
    Unten rechts KachelX + 1 59152 KachelY + 1 35378 -0.30602917 1.10806268 -17.534180 63.487315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10808407-1.10806268) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10808407-1.10806268) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(1.10808407) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44637679554588 × 6371000     		do = 136.30652443271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(1.10806268) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446395936180492 × 6371000     		du = 136.312369255751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10808407)-sin(1.10806268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44637679554588-0.446395936180492)×R²
    abs(-0.30602917--0.30607710)×1.91406346124467e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91406346124467e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91406346124467e-05×40589641000000     		ar = 18575.6639228918m²