Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59151 / 33545
↖ ↑ ↗
← N 65.648084°
W 17.536926°		 ← 125.91 m → N 65.648084°
W 17.534180°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
N 65.646951°
W 17.536926°		 ← 125.92 m →
15 860 m²		 N 65.646951°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451290130615234 y=0.255931854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451290130615234 × 217)
    floor (0.451290130615234 × 131072)
    floor (59151.5)     		tx = 59151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255931854248047 × 217)
    floor (0.255931854248047 × 131072)
    floor (33545.5)     		ty = 33545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59151 / 33545 ti = "17/59151/33545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59151/33545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59151 ÷ 217
    59151 ÷ 131072     		x = 0.451286315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33545 ÷ 217
    33545 ÷ 131072     		y = 0.255928039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451286315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0974273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30607710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255928039550781 × 2 - 1) × π
    0.488143920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.53354935574522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30607710} λ = -0.30607710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53354935574522))-π/2
    2×atan(4.634597498909)-π/2
    2×1.35828576828201-π/2
    2.71657153656403-1.57079632675     		φ = 1.14577521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30607710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.536926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14577521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.648084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59151 KachelY 33545 -0.30607710 1.14577521 -17.536926 65.648084
    Oben rechts KachelX + 1 59152 KachelY 33545 -0.30602917 1.14577521 -17.534180 65.648084
    Unten links KachelX 59151 KachelY + 1 33546 -0.30607710 1.14575544 -17.536926 65.646951
    Unten rechts KachelX + 1 59152 KachelY + 1 33546 -0.30602917 1.14575544 -17.534180 65.646951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14577521-1.14575544) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14577521-1.14575544) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(1.14577521) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.412340019869559 × 6371000     		do = 125.91298551754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30607710--0.30602917) × cos(1.14575544) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.412358030852587 × 6371000     		du = 125.91848538788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14577521)-sin(1.14575544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412340019869559-0.412358030852587)×R²
    abs(-0.30602917--0.30607710)×1.80109830278941e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.80109830278941e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.80109830278941e-05×40589641000000     		ar = 15859.6749072489m²