Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59150 / 45390
↖ ↑ ↗
← N 48.316081°
W 17.539673°		 ← 203.11 m → N 48.316081°
W 17.536926°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 48.314255°
W 17.539673°		 ← 203.12 m →
41 255 m²		 N 48.314255°
W 17.536926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451282501220703 y=0.346302032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451282501220703 × 217)
    floor (0.451282501220703 × 131072)
    floor (59150.5)     		tx = 59150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346302032470703 × 217)
    floor (0.346302032470703 × 131072)
    floor (45390.5)     		ty = 45390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59150 / 45390 ti = "17/59150/45390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59150/45390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59150 ÷ 217
    59150 ÷ 131072     		x = 0.451278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45390 ÷ 217
    45390 ÷ 131072     		y = 0.346298217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451278686523438 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30612504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346298217773438 × 2 - 1) × π
    0.307403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.965736779745651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30612504} λ = -0.30612504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965736779745651))-π/2
    2×atan(2.62672225945713)-π/2
    2×1.20703551184272-π/2
    2.41407102368543-1.57079632675     		φ = 0.84327470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30612504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.539673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84327470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.316081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59150 KachelY 45390 -0.30612504 0.84327470 -17.539673 48.316081
    Oben rechts KachelX + 1 59151 KachelY 45390 -0.30607710 0.84327470 -17.536926 48.316081
    Unten links KachelX 59150 KachelY + 1 45391 -0.30612504 0.84324282 -17.539673 48.314255
    Unten rechts KachelX + 1 59151 KachelY + 1 45391 -0.30607710 0.84324282 -17.536926 48.314255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84327470-0.84324282) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dl = 203.107480000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84327470-0.84324282) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dr = 203.107480000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30612504--0.30607710) × cos(0.84327470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665020768555545 × 6371000     		do = 203.114460351548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30612504--0.30607710) × cos(0.84324282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665044576994262 × 6371000     		du = 203.121732061561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84327470)-sin(0.84324282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665020768555545-0.665044576994262)×R²
    abs(-0.30607710--0.30612504)×2.38084387164106e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38084387164106e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38084387164106e-05×40589641000000     		ar = 41254.8046664243m²