Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59150 / 33546
↖ ↑ ↗
← N 65.646951°
W 17.539673°		 ← 125.94 m → N 65.646951°
W 17.536926°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
N 65.645819°
W 17.539673°		 ← 125.95 m →
15 856 m²		 N 65.645819°
W 17.536926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451282501220703 y=0.255939483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451282501220703 × 217)
    floor (0.451282501220703 × 131072)
    floor (59150.5)     		tx = 59150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255939483642578 × 217)
    floor (0.255939483642578 × 131072)
    floor (33546.5)     		ty = 33546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59150 / 33546 ti = "17/59150/33546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59150/33546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59150 ÷ 217
    59150 ÷ 131072     		x = 0.451278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33546 ÷ 217
    33546 ÷ 131072     		y = 0.255935668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451278686523438 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30612504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255935668945312 × 2 - 1) × π
    0.488128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5335014188456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30612504} λ = -0.30612504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5335014188456))-π/2
    2×atan(4.63437533599886)-π/2
    2×1.35827588491513-π/2
    2.71655176983025-1.57079632675     		φ = 1.14575544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30612504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.539673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14575544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.646951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59150 KachelY 33546 -0.30612504 1.14575544 -17.539673 65.646951
    Oben rechts KachelX + 1 59151 KachelY 33546 -0.30607710 1.14575544 -17.536926 65.646951
    Unten links KachelX 59150 KachelY + 1 33547 -0.30612504 1.14573568 -17.539673 65.645819
    Unten rechts KachelX + 1 59151 KachelY + 1 33547 -0.30607710 1.14573568 -17.536926 65.645819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14575544-1.14573568) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14575544-1.14573568) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30612504--0.30607710) × cos(1.14575544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.412358030852587 × 6371000     		do = 125.944756718157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30612504--0.30607710) × cos(1.14573568) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.412376032564306 × 6371000     		du = 125.950254904281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14575544)-sin(1.14573568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412358030852587-0.412376032564306)×R²
    abs(-0.30607710--0.30612504)×1.80017117193398e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80017117193398e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80017117193398e-05×40589641000000     		ar = 15855.6524166731m²